Diferencia entre la transformada de Fourier de tiempo discreto y la transformada de Fourier discreta
On noviembre 26, 2020 by adminHe leído muchos artículos sobre DTFT y DFT pero no puedo discernir la diferencia entre los dos excepto por algunas cosas visibles como DTFT van hasta el infinito, mientras que DFT es solo hasta N-1. ¿Alguien puede explicar la diferencia y cuándo usar qué? Wiki dice
La DFT se diferencia de la transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT) en que sus secuencias de entrada y salida son finitas; por lo tanto, se dice que es el análisis de Fourier de funciones de tiempo discreto de dominio finito (o periódicas).
¿Es la única diferencia?
Editar: Este artículo explica muy bien la diferencia
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Respuesta
La La transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT) es la transformada de Fourier (convencional) de una señal de tiempo discreto. Su salida es continua en frecuencia y periódica. Ejemplo: para encontrar el espectro de la versión muestreada $ x (kT) $ de una señal de tiempo continuo $ x (t) $ se puede usar la DTFT.
La transformada discreta de Fourier (DFT) se puede visto como la versión muestreada (en el dominio de frecuencia) de la salida DTFT. Se utiliza para calcular el espectro de frecuencia de una señal de tiempo discreto con una computadora, porque las computadoras solo pueden manejar un número finito de valores. Yo diría que la salida DFT es finita. También es periódica y, por lo tanto, puede continuar infinitamente.
Para resumir:
DTFT | DFT input discrete, infinite | discrete, finite *) output contin., periodic | discrete, finite *)
*) Una propiedad matemática de la DFT es que tanto su entrada como su salida son periódicas con la longitud DFT $ N $. Es decir, aunque el vector de entrada a la DFT es finito en la práctica, es correcto decir que la DFT es el espectro muestreado si se piensa que la entrada DFT es periódica.
Comentarios
- ¿No quiso decir que la entrada DTFT es en finita?
- @LutzL Puede ser infinito en general, sí. Yo ‘ cambiaré eso. ¿Qué pasa con la salida de DFT? ¿Prefieres llamarla finita o periódica ?
- Creo que la salida de DFT es N-periódica, secuencia finita
- En el DFT, mucho depende de la interpretación. Desde el punto de vista técnico, transforma lo finito en finito. Desde el punto de vista de que calcula los coeficientes de un polinomio trigonométrico, se podría decir que transforma infinitos discretos periódicos en finitos. Pero uno puede cambiar la ventana de frecuencias usada para representar la entrada, y las amplitudes sobre todas las frecuencias posibles forman nuevamente una secuencia periódica.
- Para ser más consistente, pondría » periódico » en lugar de » finite » para la entrada de la DFT. Esta es una consecuencia directa de que la DFT (salida) sea discreta.
Respuesta
bien, i «m Voy a responder a esto con un argumento que tienen » oponentes » a mi rígida posición nazi con respecto a la DFT.
en primer lugar, mi posición rígida, similar a la nazi : la DFT y la serie discreta de Fourier son iguales. La DFT asigna un infinito y secuencia periódica, $ x [n] $ con punto $ N $ en el » tiempo » dominio a otra secuencia infinita y periódica, $ X [k] $ , nuevamente con period $ N $ , en el dominio » frecuencia » y el iDFT lo asigna de nuevo. Y «re » bijective » o invertible » o » uno a uno » .
DFT: $$ X [k] = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] e ^ {- j 2 \ pi nk / N} $$
iDFT: $$ x [n] = \ frac {1} {N} \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {N-1} X [k] e ^ {j 2 \ pi nk / N} $$
eso es fundamentalmente lo que es la DFT. es inherentemente una cosa periódica o circular.
pero a los negadores de periodicidad les gusta decir esto sobre la DFT. es cierto, simplemente no cambia nada de lo anterior.
Entonces, suponga que tiene una secuencia de longitud finita $ x [n] $ de longitud $ N $ y, en lugar de extenderlo periódicamente (que es lo que hace inherentemente la DFT), agrega esta secuencia de longitud finita con ceros infinitamente en ambos izquierda y derecha. Entonces
$$ \ hat {x} [n] \ triangleq \ begin {cases} x [n] \ qquad & \ text {for} 0 \ le n \ le N-1 \\ \\ 0 & \ text {de lo contrario} \ end {cases} $$
ahora, esta secuencia infinita no repetida tiene un DTFT:
DTFT: $$ \ hat {X} \ left (e ^ {j \ omega} \ right) = \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {+ \ infty} \ hat {x} [n] e ^ {- j \ omega n} $$
$ \ hat {X } \ left (e ^ {j \ omega} \ right) $ es la transformación Z de $ \ hat {x} [n] $ evaluado en el círculo unitario $ z = e ^ {j \ omega} $ para infinitos real valores de $ \ omega $ . ahora, si tuviera que probar ese DTFT $ \ hat {X} \ left (e ^ {j \ omega} \ right) $ en $ N $ puntos igualmente espaciados en el círculo unitario, con un punto en $ z = e ^ {j \ omega} = 1 $ , obtendría
$$ \ begin {align} \ hat {X} \ left (e ^ {j \ omega} \ right) \ Bigg | _ {\ omega = 2 \ pi \ frac {k} {N}} & = \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {+ \ infty} \ hat {x } [n] e ^ {- j \ omega n} \ Bigg | _ {\ omega = 2 \ pi \ frac {k} {N}} \\ & = \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {+ \ infty} \ hat {x} [n] e ^ {- j 2 \ pi kn / N} \\ & = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} \ hat {x} [n] e ^ {- j 2 \ pi kn / N} \\ & = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] e ^ {- j 2 \ pi kn / N} \\ & = X [k] \\ \ end {align} $$
así es precisamente como se relacionan DFT y DTFT. muestrear la DTFT a intervalos uniformes en las » frecuencia » causas de dominio, en las » tiempo » dominio, la secuencia original $ \ hat {x} [n] $ se repetirá y cambiará por todos los múltiplos de $ N $ y superposición-agregado. Eso es lo que provoca el muestreo uniforme en un dominio en el otro dominio. pero, dado que se supone que $ \ hat {x} [n] $ es $ 0 $ fuera del intervalo $ 0 \ le n \ le N-1 $ , esa superposición-adición no hace nada. Simplemente extiende periódicamente la parte distinta de cero de $ \ hat {x} [n] $ , nuestra secuencia original de longitud finita, $ x [n] $ .
Comentarios
- La respuesta aceptada fue buena, pero encontré que tu respuesta es más reveladora. Gracias por proporcionar la conexión matemática real entre DTFT y DFT … especialmente el muestreo de los espectros que causan periodicidad en el dominio del tiempo. Ese es un punto que siempre olvido.
- Su segundo párrafo parece implica que las DFT aceptan secuencias de entrada que son de longitud infinita. ¿Alguien ha realizado alguna vez una DFT de longitud infinita?
- Hola Rick, Es bueno verte aquí desde comp.dsp . Recuerdo haber sido recibido por @PeterK cuando migré por primera vez (pero nunca dejaré comp.dsp ). De todos modos, en la misma medida en que el DFS acepta una secuencia de entrada de longitud infinita, es el grado en que el DFT acepta una entrada de longitud infinita. todo ‘ si ‘ digo es que el DFT y el DFS son uno y el mismo.
- @robert bristow-johnson. esta fue una hermosa explicación. mi pregunta puede ser mala pero, por series discretas de Fourier, se está refiriendo al caso en el que la entrada es una función periódica continua que continúa infinitamente en ambas direcciones, ¿correcto? Por lo que recuerdo haber dicho, al leer el libro de dover de george silov ‘, si hace que el número de coeficientes de Fourier sea lo suficientemente grande utilizando una cuadrícula de frecuencias lo suficientemente fina, entonces la serie de Fourier reproducir una función continua de período arbitrariamente de cerca. esta es la fs a la que ‘ se refiere, cuando dice que es lo mismo que DFT, ¿correcto? Gracias.
- Por serie discreta de Fourier, me refiero a lo mismo que las definiciones de DFT e iDFT que se muestran en la respuesta: $$ X [k] = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] e ^ {- j 2 \ pi nk / N} $$ $$ x [n] = \ frac {1} {N} \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {N-1} X [ k] e ^ {j 2 \ pi nk / N} $$ y, tanto para $ x [n] $ como para $ X [k] $, son periódicos con un período $ N $: $$ x [n + N ] = x [n] \ qquad \ forall n \ in \ mathbb {Z} $$ $$ X [k + N] = X [k] \ qquad \ forall k \ in \ mathbb {Z} $$ y $ N $ es un número entero positivo. que ‘ es todo lo que quiero decir con DFS.
Respuesta
Dado que la salida DTFT es continua, no se puede procesar con computadoras. Entonces tenemos que convertir esta señal continua en forma discreta. No es más que DFT como un avance adicional en FFT para reducir los cálculos.
Respuesta
Si tuviéramos que calcular un DTFT , muestra un ciclo de la misma uniformemente, y realizar una DFT inversa, obtendríamos un ciclo de una suma periódica de la secuencia de tiempo aperiódica infinita original. Por el contrario, si tuviéramos que calcular un ciclo de una suma periódica de la secuencia de tiempo aperiódica infinita original, y realizar una DFT , obtendríamos muestras de un ciclo del DTFT continuo.
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- ¡Bienvenido al sitio, Bob K! 🙂
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Si estoy en lo cierto, incluso si la entrada DFT es periódica, aunque el número de muestras es finito, las matemáticas detrás de él lo tratan como una secuencia infinita que periódicamente comienza las N
muestras después de su terminación. Por favor, corríjame si me equivoco.
Comentarios
- algunos en comp.dsp que yo ‘ he tenido argumentos con los que podría » corregir «, pero ellos ‘ estás mal. no hay diferencia entre la DFT y la serie discreta de Fourier. ninguno en absoluto.
- Para ayudarme a entender lo que ‘ se dice aquí, tengo una pregunta sobre el resultado de la operación que usted llama » Serie discreta de Fourier «. ¿Esa salida es una secuencia de números o una función continua (una ecuación)?
Respuesta
DFT: $ $ X [k] = \ sum_ {n = 0} ^ {N − 1} x [n] e ^ {- j2 \ pi nk / N} $$ SU INVERSIÓN SERÁ: $$ x [n] = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N − 1} X [k] e ^ {j2 \ pi nk / N} $$
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DFT is sampled version of DFT and the rate is the length of DFT