離散時間フーリエ変換と離散フーリエ変換の違い
On 11月 26, 2020 by adminDTFTとDFTに関する多くの記事を読みましたが、2つを除いて違いを識別できません。 DTFTのようないくつかの目に見えるものは無限大になりますが、DFTはN-1までしかありません。誰かが違いといつ何を使うべきか説明できますか? Wikiによると
DFTは、入力シーケンスと出力シーケンスの両方が有限であるという点で離散時間フーリエ変換(DTFT)とは異なります。したがって、これは有限領域(または周期的)離散時間関数のフーリエ解析であると言われます。
それが唯一の違いですか?
編集: この記事はうまく説明しています違い
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回答
離散時間フーリエ変換(DTFT)は、離散時間信号の(従来の)フーリエ変換です。その出力は、周波数が連続的で周期的です。例:連続時間信号$ x(t)$のサンプリングされたバージョン$ x(kT)$のスペクトルを見つけるには、DTFTを使用できます。
離散フーリエ変換(DFT)は次のようになります。 DTFT出力のサンプルバージョン(周波数領域)として表示されます。コンピューターは有限数の値しか処理できないため、コンピューターで離散時間信号の周波数スペクトルを計算するために使用されます。DFT出力が有限であることに反対します。これも周期的であるため、継続できます。無限に。
要約すると:
DTFT | DFT input discrete, infinite | discrete, finite *) output contin., periodic | discrete, finite *)
*)DFTの数学的特性は、入力と出力の両方が周期的であるということです。 DFTの長さが$ N $の場合。つまり、DFTへの入力ベクトルは実際には有限ですが、DFT入力が周期的であると考えられる場合、DFTがサンプリングされたスペクトルであると言うのは正しいことです。
コメント
- DTFT入力が有限であるという意味ではありませんか?
- @LutzLできます一般的には無限です、はい。 '変更します。 DFT出力についてはどうですか。有限または周期的と呼びますか?
- DFTの出力はN周期の有限シーケンスだと思います
- DFTでは、解釈に大きく依存します。技術的な観点から、それは有限から有限に変換します。三角多項式の係数を計算するという観点から、無限の離散周期を有限に変換すると言うことができます。しかし、入力を表すために使用される周波数のウィンドウをシフトすることができ、すべての可能な周波数の振幅が再び周期的なシーケンスを形成します。
- より一貫性を保つために、"
periodic "を使用します。これは、DFT(出力)が離散的であるという直接的な結果です。
回答
わかりました、i “mこれに答えるのは、DFTに関する私の厳格なナチスのような立場に対する"反対者"です。
まず第一に、私の堅いナチスのような位置:DFTと離散フーリエ級数は同じです。DFTは1つの無限大と周期的シーケンス、iv id = “e8445b0448の周期
time "ドメインから別の無限で周期的なシーケンス
DFT: $$ X [k] = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] e ^ {- j 2 \ pi nk / N} $$
iDFT: $$ x [n] = \ frac {1} {N} \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {N-1} X [k] e ^ {j 2 \ pi nk / N} $$
これが最も基本的なDFTです。それは本質的に周期的または循環的なものです。
しかし、周期性の否定者は、DFTについてこれを言いたがっています。確かに、上記のいずれも変更されません。
したがって、有限長のシーケンス $ x [n] $ 長さ
$$ \ hat {x} [n] \ Triangleq \ begin {cases} x [n] \ qquad & \ text {for} 0 \ le n \ le N-1 \\ \\ 0 & \ text {otherwise} \ end {cases} $$
現在、この繰り返されない無限シーケンスにはDTFTがあります div:
DTFT: $$ \ hat {X} \ left(e ^ {j \ omega} \ right)= \ sum \ limits_ {n =-\ infty} ^ {+ \ infty} \ hat {x} [n] e ^ {-j \ omega n} $$
$ \ hat {X } \ left(e ^ {j \ omega} \ right)$ は、 $ \ hat {x} [n] $ のZ変換です。 span>は、単位円 $ z = e ^ {j \ omega} $ で無限に多くの実数ivについて評価されました $ \ omega $ のid = “b9f1030d6a”>
値。ここで、そのDTFT $ \ hat {X} \ left(e ^ {j \ omega} \ right)$ を
$$ \ begin {align} \ hat {X} \ left(e ^ {j \ omega} \ right)\ Bigg | _ {\ omega = 2 \ pi \ frac {k} {N}} & = \ sum \ limits_ {n =-\ infty} ^ {+ \ infty} \ hat {x } [n] e ^ {-j \ omega n} \ Bigg | _ {\ omega = 2 \ pi \ frac {k} {N}} \\ & = \ sum \ limits_ {n =-\ infty} ^ {+ \ infty} \ hat {x} [n] e ^ {-j 2 \ pi kn / N} \\ & = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} \ hat {x} [n] e ^ {-j 2 \ pi kn / N} \\ & = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] e ^ {-j 2 \ pi kn / N} \\ & = X [k] \\ \ end {align} $$
これが、DFTとDTFTの関係です。 "頻度"ドメインでDTFTを一定の間隔でサンプリングすると、"で発生します時間"ドメイン、元のシーケンス $ \ hat {x} [n] $ が繰り返され、すべての倍数でシフトされます $ N $ と重複-追加。これが、一方のドメインでの均一なサンプリングが他方のドメインで発生する原因です。ただし、 $ \ hat {x} [n] $ は
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- 受け入れられた回答は良かったのですが、あなたの回答の方が洞察に満ちていることがわかりました。 DTFTとDFTの間の実際の数学的接続を提供していただきありがとうございます…特に時間領域で周期性を引き起こすスペクトルのサンプリング。それは私がいつも忘れている点です。
- 2番目の段落はDFTが無限の長さの入力シーケンスを受け入れることを意味します。無限の長さのDFTを実行したことがある人はいますか?
- リック、それここで comp.dsp からお会いできてうれしいです。最初に移行したときに@PeterKに挨拶されたことを覚えています(ただし、 comp.dsp を離れることはありません)。とにかく、DFSが無限の長さの入力シーケンスを受け入れるのと同じ程度に、DFTが無限の長さの入力を受け入れる程度です。すべての' si ' mは、DFTとDFSは同一であると言っています。
- @ robertbristow-johnson。これは美しい説明でした。私の質問は悪いかもしれませんが、離散フーリエ級数によって、入力が両方向に無限に続く連続周期関数である場合を指しているのですよね?私が覚えていることから、george silov 'のドーバー本を読んで、十分に細かい周波数グリッドを使用してフーリエ係数の数を十分に大きくすると、フーリエ級数は次のようになります。周期連続関数を任意に厳密に再現します。これは、'が参照しているfsです。DFTと同じだと言うと、正しいですか? THX。
- 離散フーリエ系列とは、答えに示されているDFTおよびiDFTの定義と同じ意味です。$$ X [k] = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] e ^ {-j 2 \ pi nk / N} $$ $$ x [n] = \ frac {1} {N} \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {N-1} X [ k] e ^ {j 2 \ pi nk / N} $$であり、$ x [n] $と$ X [k] $の両方で、周期$ N $の周期的です:$$ x [n + N ] = x [n] \ qquad \ forall n \ in \ mathbb {Z} $$ $$ X [k + N] = X [k] \ qquad \ forall k \ in \ mathbb {Z} $$および$ N $は正の整数です。 'すべてがDFSの意味です。
回答
DTFT出力は連続的であるため、コンピューターで処理することはできません。したがって、この連続信号を離散形式に変換する必要があります。計算を減らすためのFFTのさらなる進歩としてのDFTに他なりません。
回答
連続を計算する場合 DTFT 、サンプル 1サイクルし、逆DFTを実行すると、元の無限の非周期的な時系列の周期和の1サイクルが得られます。逆に、元の無限の非周期的な時系列の周期和の 1サイクルを計算し、 DFT の場合、1サイクルのサンプルを取得します継続的なDTFT。
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- サイトへようこそ、ボブK! 🙂
回答
DFT入力が定期的であっても、サンプル数は多いですが、正しければが有限である場合、その背後にある数学は、それを無限シーケンスとして扱い、終了後にN
サンプルを定期的に開始します。間違っている場合は訂正してください。
コメント
- comp.dsp にある' "正しい"との議論がありましたが、'間違っています。 DFTと離散フーリエ級数の間に違いはありません。
- 'がここで何を言っているのかを理解するために、離散フーリエ級数"。それは一連の数または連続関数(方程式)を出力しますか?
回答
DFT:$ $ X [k] = \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] e ^ {− j2 \ pi nk / N} $$その逆は次のようになります:$$ x [n] = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X [k] e ^ {j2 \ pi nk / N} $$
コメント
- 数学を読みやすくするためにラテックスマークアップを使用し、あなたの答えが実際にOPに役立つように、実行したプロセスについてもう少し説明してください。
DFT is sampled version of DFT and the rate is the length of DFT