Forskjell mellom diskret tid fourier transform og diskret fourier transform
On november 26, 2020 by adminJeg har lest mange artikler om DTFT og DFT, men er ikke i stand til å skjelne forskjellen mellom de to bortsett fra noen få synlige ting som DTFT går til uendelig, mens DFT bare er til N-1. Kan noen forklare forskjellen og når skal jeg bruke hva? Wiki sier
DFT skiller seg fra den diskrete Fourier-transformasjonen (DTFT) ved at både inngangs- og utgangssekvensene er endelige; det sies derfor å være Fourier-analysen av endelige domene (eller periodiske) diskrete tidsfunksjoner.
Er det den eneste forskjellen?
Rediger: Denne artikkelen forklarer pent forskjellen
Kommentarer
Svar
diskret-time Fourier transform (DTFT) er den (konvensjonelle) Fourier-transformasjonen av et diskret tidssignal. Produksjonen er kontinuerlig i frekvens og periodisk. Eksempel: for å finne spekteret av den samplede versjonen $ x (kT) $ for et kontinuerlig tidssignal $ x (t) $ kan DTFT brukes.
Den diskrete Fourier-transformasjonen (DFT) kan være sett på som den utvalgte versjonen (i frekvensdomene) av DTFT-utgangen. Det brukes til å beregne frekvensspekteret til et diskret tidssignal med en datamaskin, fordi datamaskiner bare kan håndtere et endelig antall verdier. Jeg vil argumentere for at DFT-utgangen er endelig. Det er også periodisk og kan derfor fortsette uendelig.
For å oppsummere det:
DTFT | DFT input discrete, infinite | discrete, finite *) output contin., periodic | discrete, finite *)
*) En matematisk egenskap til DFT er at både inngang og utgang er periodiske med DFT-lengden $ N $. Det vil si, selv om inngangsvektoren til DFT er endelig i praksis, er det bare riktig å si at DFT er det samplede spekteret hvis DFT-inngangen antas å være periodisk.
Kommentarer
- mente du ikke at DTFT-inngangen er i endelig?
- @LutzL Det kan være uendelig generelt, ja. Jeg ‘ Jeg endrer det. Hva med DFT-utgangen: vil du heller kalle den endelig eller periodisk ?
- Jeg tror utdata fra DFT er N-periodisk, endelig sekvens
- I DFT avhenger mye av tolkning. Fra et teknisk synspunkt forvandler det endelig til endelig. Fra et synspunkt at det beregner koeffisientene til et trigonometrisk polynom, kan man si at det forvandler uendelig diskret periodisk til endelig. Men man kan skifte vinduet med frekvenser som brukes til å representere inngangen, og amplitudene over alle mulige frekvenser danner igjen en periodisk sekvens.
- For å være mer konsistent vil jeg sette » periodisk » i stedet for » endelig » for inngangen til DFT. Dette er en direkte konsekvens av at DFT (output) er diskret.
Svar
ok, i «m skal svare på dette med et argument som » motstandere » til min stive nazi-lignende holdning angående DFT har.
først og fremst, min stive, nazi-lignende posisjon : DFT og Discrete Fourier Series er en og samme. DFT kartlegger en uendelig og periodisk sekvens, $ x [n] $ med periode $ N $ i » tid » domene til en annen uendelig og periodisk sekvens, $ X [k] $ , igjen med periode $ N $ , i » frekvens » domenet. og iDFT kartlegger den tilbake. Og de «re » bijective » eller inverterbar » eller » en-til-en » .
DFT: $$ X [k] = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] e ^ {- j 2 \ pi nk / N} $$
iDFT: $$ x [n] = \ frac {1} {N} \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {N-1} X [k] e ^ {j 2 \ pi nk / N} $$
som er mest fundamentalt hva DFT er. det er iboende en periodisk eller sirkulær ting.
men periodicitetsnektere liker å si dette om DFT. det er sant, det endrer bare ikke noe av det ovennevnte.
så, anta at du hadde en endelig sekvens $ x [n] $ of length $ N $ , og i stedet for å utvide det med jevne mellomrom (som DFT iboende gjør), legger du til denne endelengdesekvensen med nuller uendelig på begge venstre og høyre. så
$$ \ hat {x} [n] \ triangleq \ begin {cases} x [n] \ qquad & \ text {for} 0 \ le n \ le N-1 \\ \\ 0 & \ text {ellers} \ end {cases} $$
nå har denne uendelige sekvensen en DTFT:
DTFT: $$ \ hat {X} \ left (e ^ {j \ omega} \ right) = \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {+ \ infty} \ hat {x} [n] e ^ {- j \ omega n} $$
$ \ hat {X } \ left (e ^ {j \ omega} \ right) $ er Z-transformasjonen av $ \ hat {x} [n] $ evaluert på enhetssirkelen $ z = e ^ {j \ omega} $ for uendelig mange ekte verdier for $ \ omega $ . nå, hvis du skulle prøve den DTFT $ \ hat {X} \ left (e ^ {j \ omega} \ right) $ på $ N $ punkter med like mellomrom på enhetssirkelen, med ett punkt på $ z = e ^ {j \ omega} = 1 $ , vil du få
$$ \ begin {align} \ hat {X} \ left (e ^ {j \ omega} \ right) \ Bigg | _ {\ omega = 2 \ pi \ frac {k} {N}} & = \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {+ \ infty} \ hat {x } [n] e ^ {- j \ omega n} \ Bigg | _ {\ omega = 2 \ pi \ frac {k} {N}} \\ & = \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {+ \ infty} \ hat {x} [n] e ^ {- j 2 \ pi kn / N} \\ & = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} \ hat {x} [n] e ^ {- j 2 \ pi kn / N} \\ & = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] e ^ {- j 2 \ pi kn / N} \\ & = X [k] \\ \ end {align} $$
det er akkurat slik DFT og DTFT er relatert. prøvetaking av DTFT med jevne intervaller i » frekvensen » domenet forårsaker, i » tid » domene, den originale sekvensen $ \ hat {x} [n] $ som skal gjentas og forskyves med alle multipler av $ N $ og overlapping lagt til. det er hva ensartet prøvetaking i det ene domenet forårsaker i det andre domenet. men siden $ \ hat {x} [n] $ antas å være $ 0 $ utenfor intervallet $ 0 \ le n \ le N-1 $ , som ikke overlapper-adding. ingenting. det bare utvider periodisk den delen som ikke er null av $ \ hat {x} [n] $ , vår opprinnelige sekvens med endelig lengde, $ x [n] $ .
Kommentarer
- Det aksepterte svaret var bra, men jeg syntes svaret ditt var mer innsiktsfullt. Takk for at du gir den faktiske matematiske forbindelsen mellom DTFT og DFT … spesielt prøvetaking av spektra som forårsaker periodisitet i tidsdomenet. Det er et punkt jeg alltid glemmer.
- Det ser ut til at ditt andre avsnitt antyde at DFT-er godtar inngangssekvenser som er uendelige i lengde. Har noen noen gang utført en uendelig lengde DFT?
- hei Rick, det det er bra å se deg her fra comp.dsp . Jeg husker at jeg ble møtt av @PeterK da jeg først migrerte over (men jeg vil aldri forlate comp.dsp ). uansett, i samme grad som DFS aksepterer en inngangssekvens av uendelig lengde, er den grad at DFT godtar en inngang som er uendelig lang. alt ‘ si ‘ jeg sier er at DFT og DFS er det samme.
- @robert bristow-johnson. dette var en vakker forklaring. spørsmålet mitt kan være dårlig, men med diskrete fourier-serier henviser du til tilfellet der inngangen er en kontinuerlig periodisk funksjon som fortsetter uendelig i begge retninger, ikke sant? Fra det jeg husker sier, fra å lese george silov ‘ s doverbok, hvis du gjør antall fourier-koeffisienter store nok ved å bruke et fint nok rutenett med frekvenser, så kan Fourier-serien gjengi en periode kontinuerlig funksjon vilkårlig tett. dette er fs du ‘ henviser til, når du sier de er at det er det samme som DFT, ikke sant? takk.
- av Discrete Fourier Series, jeg mener det samme som DFT- og iDFT-definisjonene vist i svaret: $$ X [k] = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] e ^ {- j 2 \ pi nk / N} $$ $$ x [n] = \ frac {1} {N} \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {N-1} X [ k] e ^ {j 2 \ pi nk / N} $$ og for både $ x [n] $ og $ X [k] $ er de periodiske med en periode $ N $: $$ x [n + N ] = x [n] \ qquad \ forall n \ i \ mathbb {Z} $$ $$ X [k + N] = X [k] \ qquad \ forall k \ i \ mathbb {Z} $$ og $ N $ er et positivt heltall. at ‘ er alt jeg mener med DFS.
Svar
Siden DTFT-utdata er kontinuerlig, kan den ikke behandles med datamaskiner. Så vi må konvertere dette kontinuerlige signalet til diskret form. Det er ingenting annet enn DFT som en ytterligere fremgang på FFT for å redusere beregninger.
Svar
Hvis vi skulle beregne en kontinuerlig DTFT , prøve en syklus av det jevnt, og utføre en invers DFT, ville vi oppnå en syklus med en periodisk summering av den opprinnelige uendelige, aperiodiske tidssekvensen. Omvendt, hvis vi skulle beregne en syklus av en periodisk summering av den opprinnelige uendelige, aperiodiske tidssekvensen, og utføre en DFT , vi ville få prøver av en syklus for den kontinuerlige DTFT.
Kommentarer
- Velkommen til siden, Bob K! 🙂
Svar
Hvis jeg har rett, selv om DFT-inngang er periodisk, selv om antallet prøver er endelig, matematikken bak den behandler den som en uendelig rekkefølge som med jevne mellomrom begynner N
prøvene etter at den er avsluttet. Rett meg hvis jeg tar feil.
Kommentarer
- noen på comp.dsp at jeg ‘ har hatt argumenter med kanskje » rett » deg, men de ‘ er feil. det er ingen forskjell mellom DFT og Discrete Fourier Series. ingen som helst.
- For å hjelpe meg med å forstå hva ‘ blir sagt her, har jeg et spørsmål angående utgangen av operasjonen du kaller en » Diskret Fourier-serie «. Er det en sekvens med tall eller en kontinuerlig funksjon (en ligning)?
Svar
DFT: $ $ X [k] = \ sum_ {n = 0} ^ {N − 1} x [n] e ^ {- j2 \ pi nk / N} $$ DENNE INVERSE VIL VÆRE: $$ x [n] = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N − 1} X [k] e ^ {j2 \ pi nk / N} $$
Kommentarer
- Bruk Latex-markering slik at matematikken din er lesbar, og forklar litt mer av prosessen du fulgte, slik at svaret ditt faktisk kan hjelpe OP.
DFT is sampled version of DFT and the rate is the length of DFT