Erotus diskreetin aika-Fourier-muunnoksen ja diskreetin Fourier-muunnoksen välillä
On marraskuu 26, 2020 by adminOlen lukenut monia artikkeleita DTFT: stä ja DFT: stä, mutta en pysty erottamaan näiden kahden välistä eroa lukuun ottamatta muutama näkyvä asia, kuten DTFT, menee äärettömään, kun taas DFT on vain N-1 asti. Voisiko kukaan selittää eron ja milloin käyttää mitä? Wiki sanoo
DFT eroaa diskreettiaikaisesta Fourier-muunnoksesta (DTFT) siinä, että sen tulo- ja lähtöjaksot ovat molemmat äärellisiä; sen sanotaan olevan Fourier-analyysi rajallisen verkkotunnuksen (tai jaksollisten) diskreettiaikatoiminnoista.
Onko se ainoa ero?
Muokkaa: Tämä artikkeli selittää hienosti ero
Kommentit
Vastaa
diskreettiaikainen Fourier-muunnos (DTFT) on (tavanomainen) diskreettiaikaisen signaalin Fourier-muunnos. Sen tuotos on jatkuvaa taajuudeltaan ja jaksoittain. Esimerkki: jatkuvan ajan signaalin $ x (tT) $ näytteistetyn version $ x (kT) $ spektrin löytämiseksi voidaan käyttää DTFT: tä.
Diskreetti Fourier-muunnos (DFT) voidaan käyttää nähdään DTFT-lähdön näytetyksi versioksi (taajuusalueella). Sitä käytetään diskreettiaikaisen signaalin taajuusspektrin laskemiseen tietokoneella, koska tietokoneet pystyvät käsittelemään vain rajallisen määrän arvoja. Vastustan sitä, että DFT-lähtö on rajallinen. Se on myös säännöllinen ja sitä voidaan siksi jatkaa äärettömästi.
Yhteenvetona:
DTFT | DFT input discrete, infinite | discrete, finite *) output contin., periodic | discrete, finite *)
*) DFT: n matemaattinen ominaisuus on, että sekä sen tulo että lähtö ovat jaksollisia DFT: n pituudella $ N $. Toisin sanoen, vaikka DFT: n tulovektori on käytännössä rajallinen, on oikein sanoa, että DFT on näytteistetty spektri, jos DFT-tulon uskotaan olevan jaksollinen.
Kommentit
- etkö tarkoittanut, että DTFT-tulo on äärellisessä?
- @LutzL Se voi ole yleensä ääretön, kyllä. Muutan sitä ’. Entä DFT-lähtö: kutsuisitko sitä mieluummin äärelliseksi vai jaksolliseksi ?
- mielestäni DFT: n lähtö on N-jaksollinen, äärellinen sekvenssi
- DFT: ssä paljon riippuu tulkinnasta. Teknisestä näkökulmasta se muuttaa äärellisen lopulliseksi. Siitä näkökulmasta, että se laskee trigonometrisen polynomin kertoimet, voidaan sanoa, että se muuntaa äärettömän diskreetin jaksollisen äärelliseksi. Mutta tuloa edustavien taajuuksien ikkunaa voidaan siirtää, ja kaikkien mahdollisten taajuuksien amplitudit muodostavat jälleen jaksollisen sekvenssin.
- Jotta olisin johdonmukaisempi, laitan ” jaksollinen ” ” finite ” DFT: n tuloa varten. Tämä on suora seuraus siitä, että DFT (lähtö) on erillinen.
Vastaa
ok, i ”m vastaan tähän väitteellä, joka ” vastustajilla ” minun jäykällä natsimaisella asenteellani DFT: n suhteen.
ensinnäkin, jäykkä, natsimainen asento : DFT- ja Discrete Fourier -sarjat ovat yksi ja sama. DFT kartoittaa yhden äärettömän ja jaksollinen jakso, $ x [n] $ ja jakso $ N $ kohdassa ” time ” toimialue toiseen äärettömään ja jaksolliseen jaksoon, $ X [k] $ , uudelleen period $ N $ , verkkotunnuksessa ” frequency ” ja iDFT kartoittaa sen takaisin. Ja ne ”re ” bijective ” tai kääntyvä ” tai ” yksi yhteen ” .
DFT: $$ X [k] = \ summa \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] e ^ {- j 2 \ pi nk / N} $$
iDFT: $$ x [n] = \ frac {1} {N} \ summa \ limits_ {k = 0} ^ {N-1} X [k] e ^ {j 2 \ pi nk / N} $$
se on pohjimmiltaan mitä DFT on. se on luonnostaan jaksollinen tai pyöreä asia.
mutta jaksollisuuden kieltäjät haluavat sanoa tämän DFT: stä. se on totta, se vain ei muuta mitään yllä olevista.
Joten oletetaan, että sinulla oli rajallinen pituinen sekvenssi $ x [n] $ of length $ N $ ja sen sijaan, että laajennat sitä säännöllisesti (mitä DFT luonnostaan tekee), liität tämän äärellisen pituisen jakson nollilla äärettömästi molempiin vasemmalle ja oikealle. joten
$$ \ hat {x} [n] \ triangleq \ begin {cases} x [n] \ qquad & \ text {varten} 0 \ le n \ le N-1 \\ \\ 0 & \ text {muuten} \ end {cases} $$
tällä toistumattomalla äärettömällä jaksolla on DTFT:
DTFT: $$ \ hat {X} \ left (e ^ {j \ omega} \ right) = \ summa \ limits_ {n = – \ infty} ^ {+ \ infty} \ hattu {x} [n] e ^ {- j \ omega n} $$
$ \ hattu {X } \ left (e ^ {j \ omega} \ right) $ on $ \ hattu {x} [n] $ arvioitu yksikköympyrässä $ z = e ^ {j \ omega} $ äärettömän monille todellisille $ \ omega $ -arvot. nyt, jos otat DTFT-näytteen $ \ hat {X} \ left (e ^ {j \ omega} \ right) $ kohdassa $ N $ tasavälein pisteitä yksikköympyrässä, yksi piste $ z = e ^ {j \ omega} = 1 $ , saat
$$ \ begin {align} \ hattu {X} \ left (e ^ {j \ omega} \ right) \ Bigg | _ {\ omega = 2 \ pi \ frac {k} {N}} & = \ summa \ limits_ {n = – \ infty} ^ {+ \ infty} \ hattu {x } [n] e ^ {- j \ omega n} \ Bigg | _ {\ omega = 2 \ pi \ frac {k} {N}} \\ & = \ summa \ limits_ {n = – \ infty} ^ {+ \ infty} \ hattu {x} [n] e ^ {- j 2 \ pi kn / N} \\ & = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} \ hattu {x} [n] e ^ {- j 2 \ pi kn / N} \\ & = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] e ^ {- j 2 \ pi kn / N} \\ & = X [k] \\ \ end {align} $$
juuri näin DFT ja DTFT ovat yhteydessä toisiinsa. näytteenotto DTFT: stä tasaisin välein ” -taajuuden ” toimialueella, ” aika ” -verkkotunnus, alkuperäinen sekvenssi $ \ hat {x} [n] $ toistetaan ja siirretään kaikilla kerrannaisilla $ N $ ja päällekkäin lisätty. että yhden verkkotunnuksen yhtenäinen näytteenotto aiheuttaa toisen verkkotunnuksen. mutta koska $ \ hat {x} [n] $ oletetaan olevan $ 0 $ välin $ 0 \ le n \ le N-1 $ ulkopuolella, päällekkäinen lisääminen ei tee mitään. se vain pidentää ajoittain $ \ hat {x} [n] $ -kohdan, alkuperäisen äärellisen pituisen järjestyksemme nollasta poikkeavaa osaa $ x [n] $ .
Kommentit
- Hyväksytty vastaus oli hyvä, mutta löysin vastauksesi oivaltavammaksi. Kiitos tosiasiallisesta matemaattisesta yhteydestä DTFT: n ja DFT: n välillä … etenkin näytteiden ottaminen spektreistä, jotka aiheuttavat jaksollisuutta aika-alueella. Se on kohta, jonka unohdan aina.
- Toinen kappaleesi näyttää tarkoita, että DFT: t hyväksyvät äärettömän pituiset tulosekvenssit. Onko kukaan koskaan suorittanut ääretön pituus DFT: tä?
- Hei Rick, se on hyvä nähdä sinut täällä comp.dsp -sivulta. Muistan, että @PeterK tervehtii sitä, kun ensimmäisen kerran sorta muutti (mutta en koskaan jätä comp.dsp ). joka tapauksessa, siinä määrin kuin DFS hyväksyy äärettömän pituisen tulosekvenssin, on aste, jonka DFT hyväksyy äärettömän pituisen tulon. kaikki ’ si ’ m sanovat, että DFT ja DFS ovat yksi ja sama.
- @robert bristow-johnson. tämä oli kaunis selitys. kysymykseni saattaa olla huono, mutta erillisillä Fourier-sarjoilla tarkoitat tapausta, jossa panos on jatkuva jaksollinen toiminto, joka jatkuu loputtomasti molempiin suuntiin, eikö? Muistan mitä sanon: lukemalla George Silov ’ n dover-kirjan, jos teet Fourier-kertoimien määrän riittävän suureksi käyttämällä riittävän hienoa taajuusruutua, Fourier-sarja tuottaa jakson jatkuva toiminto mielivaltaisesti tarkasti. tämä on fs, johon ’ viitat, kun sanot heidän olevan sama kuin DFT, eikö? Kiitti.
- Discrete Fourier -sarjalla tarkoitan samaa kuin vastauksessa näkyvät DFT- ja iDFT-määritelmät: $$ X [k] = \ summa \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] e ^ {- j 2 \ pi nk / N} $$ $$ x [n] = \ frac {1} {N} \ summa \ rajoitukset_ {k = 0} ^ {N-1} X [ k] e ^ {j 2 \ pi nk / N} $$ ja sekä $ x [n] $ että $ X [k] $, ne ovat jaksollisia jaksolla $ N $: $$ x [n + N ] = x [n] \ qquad \ forall n \ sisään \ mathbb {Z} $$ $$ X [k + N] = X [k] \ qquad \ forall k \ sisään \ mathbb {Z} $$ ja $ N $ on positiivinen kokonaisluku. että ’ tarkoitan kaikkia DFS: llä.
Vastaa
Koska DTFT-lähtö on jatkuva, sitä ei voida käsitellä tietokoneilla. Joten meidän on muunnettava tämä jatkuva signaali erilliseksi muodoksi. Se ei ole muuta kuin DFT FFT: n edistyksenä laskelmien vähentämiseksi.
Vastaa
Jos laskisimme jatkuvan DTFT , näyte yksi sykli siitä tasaisesti ja suoritamme käänteisen DFT: n, saisimme yhden jakson alkuperäisen äärettömän, aperiodisen aikasekvenssin jaksollisesta summaamisesta. Vastaavasti, jos laskemme yhden jakson alkuperäisen äärettömän, aperiodisen aikasekvenssin jaksollisesta summaamisesta ja suoritamme DFT , saisimme näytteitä yhdestä jaksosta jatkuvasta DTFT: stä.
Kommentit
- Tervetuloa sivustolle, Bob K! 🙂
Vastaa
Jos olen oikeassa, vaikka DFT-tulo olisi jaksollista, vaikka näytteiden määrä on äärellinen, sen takana oleva matematiikka kohtelee sitä äärettömänä sekvenssinä, joka aloittaa jaksoittain N
-näytteet sen lopettamisen jälkeen. Korjaa minut, jos olen väärässä.
Kommentit
- jotkut osoitteesta comp.dsp , että olen ’ ve: llä on ollut argumentteja ehkä ” oikean ” kanssa, mutta he ’ väärässä. DFT: n ja Discrete Fourier -sarjan välillä ei ole eroa. ei mitään.
- Jotta voin ymmärtää, mitä ’ täällä sanotaan, minulla on kysymys sen operaation tuotoksesta, jota kutsut ” Diskreetti Fourier-sarja ”. Onko tämä lähtö numerosarja tai jatkuva funktio (yhtälö)?
Vastaa
DFT: $ $ X [k] = \ sum_ {n = 0} ^ {N − 1} x [n] e ^ {- j2 \ pi nk / N} $$ sen käänteinen tulos on: $$ x [n] = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N − 1} X [k] e ^ {j2 \ pi nk / N} $$
kommentit
- Käytä Latex-merkintöjä, jotta matematiikka on luettavissa, ja selitä hieman enemmän seuraamastasi prosessista, jotta vastauksesi voi todella auttaa toimenpidettä.
DFT is sampled version of DFT and the rate is the length of DFT