Diferența dintre transformarea Fourier discretă în timp și transformata discretă Fourier
On noiembrie 26, 2020 by adminAm citit multe articole despre DTFT și DFT, dar nu pot discerne diferența dintre cele două, cu excepția câteva lucruri vizibile precum DTFT merg până la infinit, în timp ce DFT este doar până la N-1. Poate cineva să vă explice diferența și când să folosească ce? Wiki spune
DFT diferă de transformata Fourier în timp discret (DTFT) prin faptul că secvențele sale de intrare și de ieșire sunt ambele finite; Prin urmare, se spune că este analiza Fourier a funcțiilor în timp discret cu domenii finite (sau periodice).
Este singura diferență?
Editați: Acest articol explică frumos diferența
Comentarii
Răspuns
transformata Fourier în timp discret (DTFT) este transformata Fourier (convențională) a unui semnal în timp discret. Ieșirea sa este continuă ca frecvență și periodică. Exemplu: pentru a găsi spectrul versiunii eșantionate $ x (kT) $ a unui semnal continuu $ x (t) $ se poate utiliza DTFT.
Transformata Fourier discretă (DFT) poate fi văzută ca versiunea eșantionată (în domeniul frecvenței) a ieșirii DTFT. Este folosit pentru a calcula spectrul de frecvență al unui semnal discret în timp cu un computer, deoarece computerele pot gestiona doar un număr finit de valori. Aș argumenta împotriva ieșirii DFT fiind finită. De asemenea, este periodic și poate fi continuat infinit.
Pentru a rezuma:
DTFT | DFT input discrete, infinite | discrete, finite *) output contin., periodic | discrete, finite *)
*) O proprietate matematică a DFT este că atât intrarea, cât și ieșirea sa sunt periodice cu lungimea DFT $ N $. Adică, deși vectorul de intrare în DFT este finit în practică, este corect să spunem că DFT este spectrul eșantionat dacă se consideră că intrarea DFT este periodică.
Comentarii
- nu ați vrut să spuneți că intrarea DTFT este în finită?
- @LutzL Poate fii infinit în general, da. ‘ o voi schimba. Ce zici de ieșirea DFT: ați prefera să o numiți finită sau periodică ?
- Cred că ieșirea DFT este N-periodică, secvență finită
- În DFT, mult depinde de interpretare. Din punct de vedere tehnic, se transformă finit în finit. Din punctul de vedere că calculează coeficienții unui polinom trigonometric, s-ar putea spune că transformă infinit periodic discret în finit. Dar se poate schimba fereastra frecvențelor utilizate pentru a reprezenta intrarea, iar amplitudinile peste toate frecvențele posibile formează din nou o secvență periodică.
- Pentru a fi mai consecvent aș pune ” periodic ” în loc de ” finit ” pentru intrarea DFT. Aceasta este o consecință directă a faptului că DFT (ieșirea) este discretă.
Răspuns
bine, i „m Voi răspunde la acest lucru cu un argument pe care ” oponenții ” la poziția mea rigidă de tip nazist cu privire la DFT o au. > în primul rând, poziția mea rigidă, asemănătoare nazismului : DFT și seria Fourier discretă sunt una și aceeași. DFT mapează unul infinit și secvență periodică, $ x [n] $ cu perioada $ N $ în ” time ” domeniu către o altă secvență infinită și periodică, $ X [k] $ , din nou cu period $ N $ , în domeniul ” frecvență „. și iDFT îl mapează înapoi. și „re ” bijectiv ” sau inversabil ” sau ” unu la unu ” .
DFT: $$ X [k] = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] e ^ {- j 2 \ pi nk / N} $$
iDFT: $$ x [n] = \ frac {1} {N} \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {N-1} X [k] e ^ {j 2 \ pi nk / N} $$
acesta este cel mai fundamental ceea ce este DFT. este inerent un lucru periodic sau circular.
dar negatorii periodicității le place să spună acest lucru despre DFT. este adevărat, pur și simplu nu „schimbă niciuna dintre cele de mai sus.
deci, să presupunem că ați avut o secvență de lungime finită $ x [n] $ de lungime $ N $ și, în loc să o extindeți periodic (ceea ce face DFT în mod inerent), adăugați această secvență de lungime finită cu zerouri la infinit pe ambele stânga și dreapta. deci
$$ \ hat {x} [n] \ triangleq \ begin {cases} x [n] \ qquad & \ text {pentru} 0 \ le n \ le N-1 \\ \\ 0 & \ text {altfel} \ end {cases} $$
acum, această secvență infinită care nu se repetă are un DTFT:
DTFT: $$ \ hat {X} \ left (e ^ {j \ omega} \ right) = \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {+ \ infty} \ hat {x} [n] e ^ {- j \ omega n} $$
$ \ hat {X } \ left (e ^ {j \ omega} \ right) $ este transformarea Z a $ \ hat {x} [n] $ evaluat pe cercul de unitate $ z = e ^ {j \ omega} $ pentru infinit de mulți real valorile $ \ omega $ . acum, dacă ar fi să probați că DTFT $ \ hat {X} \ left (e ^ {j \ omega} \ right) $ la $ N $ puncte la distanțe egale pe cercul unității, cu un punct la $ z = e ^ {j \ omega} = 1 $ , veți obține
$$ \ begin {align} \ hat {X} \ left (e ^ {j \ omega} \ right) \ Bigg | _ {\ omega = 2 \ pi \ frac {k} {N}} & = \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {+ \ infty} \ hat {x } [n] e ^ {- j \ omega n} \ Bigg | _ {\ omega = 2 \ pi \ frac {k} {N}} \\ & = \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {+ \ infty} \ hat {x} [n] e ^ {- j 2 \ pi kn / N} \\ & = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} \ hat {x} [n] e ^ {- j 2 \ pi kn / N} \\ & = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] e ^ {- j 2 \ pi kn / N} \\ & = X [k] \\ \ end {align} $$
tocmai așa sunt legate DFT și DTFT. eșantionarea DTFT la intervale uniforme în ” frecvență ” cauzele domeniului, în ” timp ” domeniu, secvența originală $ \ hat {x} [n] $ pentru a fi repetată și deplasată cu toți multiplii din $ N $ și se adaugă suprapunere. asta este ceea ce cauzează eșantionarea uniformă într-un domeniu în celălalt domeniu. dar, din moment ce $ \ hat {x} [n] $ se presupune că este $ 0 $ în afara intervalului $ 0 \ le n \ le N-1 $ , această suprapunere-adăugare nu face nimic. extinde periodic partea diferită de zero a $ \ hat {x} [n] $ , secvența noastră originală de lungime finită, $ x [n] $ .
Comentarii
- Răspunsul acceptat a fost bun, dar am găsit că răspunsul dvs. este mai perspicace. Vă mulțumim că ați furnizat conexiunea matematică reală între DTFT și DFT … în special eșantionarea spectrelor care cauzează periodicitate în domeniul timpului. Acesta este un punct pe care îl uit mereu.
- Al doilea paragraf pare să implică faptul că DFT-urile acceptă secvențe de intrare de lungime infinită. A realizat cineva vreodată un DFT de lungime infinită?
- hei Rick, e bine să vă văd aici din comp.dsp . Îmi amintesc că am fost întâmpinat de @PeterK când am migrat pentru prima dată (dar nu voi părăsi niciodată comp.dsp ). oricum, în același grad în care DFS acceptă o secvență de intrare de lungime infinită este gradul în care DFT acceptă o intrare de lungime infinită. toate ‘ dacă ‘ spun că DFT și DFS sunt una și aceeași.
- @robert bristow-johnson. aceasta a fost o explicație frumoasă. întrebarea mea poate fi rea, dar, prin serii discrete de Fourier, vă referiți la cazul în care intrarea este o funcție periodică continuă care merge infinit în ambele direcții, corect? Din ceea ce îmi amintesc, din citirea cărții dover a lui George Silov ‘, dacă faceți numărul de coeficienți Fourier suficient de mare utilizând o grilă de frecvențe suficient de fină, atunci seria Fourier poate reproduce o funcție continuă de perioadă în mod arbitrar îndeaproape. acesta este cel la care ‘ te referi, când spui că este la fel ca DFT, corect? mersi.
- prin seria Fourier discretă, vreau să spun același lucru ca și definițiile DFT și iDFT prezentate în răspuns: $$ X [k] = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] e ^ {- j 2 \ pi nk / N} $$ $$ x [n] = \ frac {1} {N} \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {N-1} X [ k] e ^ {j 2 \ pi nk / N} $$ și, atât pentru $ x [n] $ cât și $ X [k] $, sunt periodice cu o perioadă $ N $: $$ x [n + N ] = x [n] \ qquad \ forall n \ in \ mathbb {Z} $$ $$ X [k + N] = X [k] \ qquad \ forall k \ in \ mathbb {Z} $$ și $ N $ este un număr întreg pozitiv. că ‘ este tot ceea ce vreau să spun prin DFS.
Răspuns
Deoarece ieșirea DTFT este continuă, nu poate fi procesată cu computerele. Deci, trebuie să convertim acest semnal continuu într-o formă discretă. Nu este altceva decât DFT ca un avans suplimentar în FFT pentru a reduce calculele.
Răspuns
Dacă ar fi să calculăm un DTFT , eșantion un ciclu din el în mod uniform și efectuăm un DFT invers, am obține un ciclu al unei însumări periodice a secvenței de timp aperiodice infinite originale. Dimpotrivă, dacă ar fi să calculăm un ciclu al unei însumări periodice a secvenței de timp aperiodice infinite originale și să realizăm un DFT , am obține eșantioane dintr-un ciclu al DTFT continuu.
Comentarii
- Bine ați venit pe site, Bob K! 🙂
Răspuns
Dacă sunt corect, chiar dacă intrarea DFT este periodică, deși numărul de eșantioane este finit, matematica din spatele ei o tratează ca o secvență infinită care începe periodic eșantioanele N
după terminarea sa. Vă rog să mă corectați dacă greșesc.
Comentarii
- unele la comp.dsp că i ‘ am avut argumente cu might ” corect ” dvs., dar ei ‘ greșesc. nu există nicio diferență între DFT și seria Fourier discretă. niciunul.
- Pentru a mă ajuta să înțeleg ce se spune aici ‘, am o întrebare cu privire la rezultatul operației pe care o numiți ” Seria Fourier discretă „. Această ieșire este o secvență de numere sau o funcție continuă (o ecuație)?
Răspuns
DFT: $ $ X [k] = \ sum_ {n = 0} ^ {N − 1} x [n] e ^ {- j2 \ pi nk / N} $$ INVERSUL SĂU ESTE: $$ x [n] = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N − 1} X [k] e ^ {j2 \ pi nk / N} $$
Comentarii
- Vă rugăm să utilizați marcajul Latex, astfel încât matematica dvs. să poată fi citită și să explicați puțin mai mult despre procesul pe care l-ați urmat, astfel încât răspunsul dvs. să vă poată ajuta de fapt OP.
DFT is sampled version of DFT and the rate is the length of DFT