Különbség a diszkrét idő-Fourier transzformáció és a diszkrét Fourier-transzformáció között
On november 26, 2020 by adminSok cikket olvastam a DTFT-ről és a DFT-ről, de nem tudom felismerni a kettő közötti különbséget, kivéve: néhány látható dolog, például a DTFT a végtelenségig megy, míg a DFT csak az N-1-ig. Tud valaki magyarázatot adni a különbségre és mikor mit használjon? A Wiki szerint
A DFT abban különbözik a diszkrét idejű Fourier transzformációtól (DTFT), hogy a bemeneti és a kimeneti szekvenciája egyaránt véges; ezért azt mondják, hogy a véges tartományú (vagy periodikus) diszkrét idejű függvények Fourier-elemzése.
Ez az egyetlen különbség?
Szerkesztés: Ez a cikk szépen elmagyarázza a különbség
Megjegyzések
Válasz
a diszkrét idejű Fourier transzformáció (DTFT) a diszkrét idejű jel (hagyományos) Fourier transzformációja. Kimenete frekvenciában és periodikusan folyamatos. Példa: a $ x (t) $ folytonos idejű jel $ x (kT) $ mintavételezett verziójának spektrumának megkereséséhez a DTFT használható.
A diszkrét Fourier-transzformáció (DFT) használható a DTFT kimenet mintavételezett verziója (frekvenciatartományban). Számítógéppel diszkrét idejű jel frekvenciaspektrumának kiszámításához használják, mert a számítógépek csak véges számú értéket képesek kezelni. Azt állítanám, hogy a DFT kimenet véges. Ez periodikus is, ezért folytatható végtelenül.
Összefoglalva:
DTFT | DFT input discrete, infinite | discrete, finite *) output contin., periodic | discrete, finite *)
*) A DFT matematikai tulajdonsága, hogy mind a bemenete, mind a kimenete periodikus A $ N $ DFT hosszúsággal. Vagyis, bár a DFT bemeneti vektora a gyakorlatban véges, csak azt állíthatjuk, hogy a DFT a mintavételezett spektrum, ha a DFT bemenetet periodikusnak gondolják.
Megjegyzések
- nem arra gondolt, hogy a DTFT bemenet végesben van ?
- @LutzL legyen végtelen általában, igen. Ezt ‘ megváltoztatom. Mi a helyzet a DFT kimenettel: inkább véges nek vagy periodikusnak nevezné?
- szerintem a DFT kimenete N-periodikus, véges szekvencia
- A DFT-ben sok függ az értelmezéstől. Műszaki szempontból végesből végessé alakul. Abból a szempontból, hogy kiszámítja a trigonometrikus polinom együtthatóit, azt lehet mondani, hogy a végtelen diszkrét periodikust végessé alakítja. Ám lehet elmozdítani a bemenet ábrázolásához használt frekvenciák ablakát, és az összes lehetséges frekvencia amplitúdója ismét periodikus sorrendet alkot.
- A következetesség érdekében a következőt tenném: ” periodikus ” a ” véges ” helyett a DFT bemenetéhez. Ez annak közvetlen következménye, hogy a DFT (output) diszkrét.
Válasz
rendben, i “m Erre egy olyan érvvel fogok válaszolni, amelyet ” ellenzők ” válaszolnak a merev nácihoz hasonló álláspontomra a DFT-vel kapcsolatban.
először is: merev, nácihoz hasonló álláspontom : a DFT és a Diszkrét Fourier sorozat egy és ugyanaz. a DFT végtelen és időszakos sorrend, $ x [n] $ és $ N $ periódus a ” time ” tartomány egy másik végtelen és periodikus sorrendbe, $ X [k] $ , ismét időszak $ N $ , a ” gyakoriság ” tartományban. Az iDFT visszaképezi, és “re ” bijective ” vagy invertálható ” vagy ” egy az egyben ” .
DFT: $$ X [k] = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] e ^ {- j 2 \ pi nk / N} $$
iDFT: $$ x [n] = \ frac {1} {N} \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {N-1} X [k] e ^ {j 2 \ pi nk / N} $$
ez az, ami alapvetően a DFT. eleve időszakos vagy körkörös dolog.
de a periodicitás tagadók szeretik ezt mondani a DFT-ről. igaz, csak nem változtatja meg a fentieket.
Tehát tegyük fel, hogy véges hosszúságú szekvenciád volt $ x [n] $ of length $ N $ , és ahelyett, hogy periodikusan meghosszabbítaná (amit a DFT eredendően tesz), ezt a véges hosszúságú sorozatot végtelenül nullákkal egészíti ki balra és jobbra. tehát
$$ \ hat {x} [n] \ triangleq \ begin {esetben} x [n] \ qquad & \ text {for} 0 \ le n \ le N-1 \\ \\ 0 & \ text {különben} \ end {esetek} $$
most ennek a nem ismétlődő végtelen sorrendnek van DTFT-je:
DTFT: $$ \ hat {X} \ left (e ^ {j \ omega} \ right) = \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {+ \ infty} \ hat {x} [n] e ^ {- j \ omega n} $$
$ \ hat {X } \ left (e ^ {j \ omega} \ right) $ a $ \ hat {x} [n] $ kiértékelve az egység körön $ z = e ^ {j \ omega} $ végtelen sok valós $ \ omega $ értékei. most, ha azt a DTFT $ \ hat {X} \ left (e ^ {j \ omega} \ right) $ mintát választaná a $ N $ egyenlő távolságra lévő pontok az egység körön, egy ponttal $ z = e ^ {j \ omega} = 1 $ , megkapná
$$ \ begin {align} \ hat {X} \ left (e ^ {j \ omega} \ right) \ Bigg | _ {\ omega = 2 \ pi \ frac {k} {N}} & = \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {+ \ infty} \ hat {x } [n] e ^ {- j \ omega n} \ Bigg | _ {\ omega = 2 \ pi \ frac {k} {N}} \\ & = \ összeg \ limits_ {n = – \ infty} ^ {+ \ infty} \ hat {x} [n] e ^ {- j 2 \ pi kn / N} \\ & = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} \ hat {x} [n] e ^ {- j 2 \ pi kn / N} \\ & = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] e ^ {- j 2 \ pi kn / N} \\ & = X [k] \\ \ end {align} $$
pontosan így függ össze a DFT és a DTFT. a DTFT egységes időközönként történő mintavétele a ” frekvencia ” tartományban, a ” time ” domain, az eredeti $ \ hat {x} [n] $ szekvenciát meg kell ismételni és eltolni minden szorzattal $ N $ és átfedés-hozzáadva. hogy “mit okoz az egységes mintavétel az egyik tartományban a másik tartományban. de mivel a $ \ hat {x} [n] $ feltételezések szerint $ 0 $ az intervallumon kívül $ 0 \ le n \ le N-1 $ , az átfedés nem tesz semmit, csak időszakosan meghosszabbítja a $ \ hat {x} [n] $ , az eredeti véges hosszúságú sorrendünk nulla nélküli részét, $ x [n] $ .
Kommentárok
- Az elfogadott válasz jó volt, de a válaszát belátóbbnak találtam. Köszönjük, hogy tényleges matematikai kapcsolatot biztosított a DTFT és a DFT között … különösen az időtartományban periodicitást okozó spektrumok mintavétele. Ezt a pontot mindig elfelejtem.
- Úgy tűnik, hogy a második bekezdésed arra utal, hogy a DFT-k végtelen hosszúságú bemeneti szekvenciákat fogadnak el. Végzett valaki valaha végtelen hosszúságú DFT-t?
- hé Rick, ez jó látni itt a comp.dsp ből. emlékszem, hogy @PeterK köszöntött, amikor először sorta vándoroltam át (de soha nem hagyom el a comp.dsp -t). amúgy ugyanolyan mértékben, ahogy a DFS elfogadja a végtelen hosszúságú bemeneti szekvenciát, az a fok, amellyel a DFT elfogad egy végtelen hosszú bemenetet. az összes ‘ si ‘ m mondás az, hogy a DFT és a DFS egy és ugyanaz.
- @robert bristow-johnson. ez gyönyörű magyarázat volt. lehet, hogy a kérdésem rossz, de diszkrét Fourier-sorozatok alapján arra az esetre hivatkozik, amikor a bemenet egy folyamatos periodikus függvény, amely végtelenül megy végbe mindkét irányban, igaz? Arra, amire emlékszem, George Silov ‘ dover könyv olvasásából kiderül, hogy ha elég nagy frekvenciavázlatot használ, akkor a Fourier együtthatók számát elég nagyra teszi, akkor a Fourier sorozat reprodukálni egy periódus folyamatos funkciót önkényesen szorosan. ez az fs, amelyre ‘ hivatkozol, amikor azt mondod, hogy ez megegyezik a DFT-vel, igaz? Kösz.
- a Discrete Fourier sorozat alatt ugyanazt értem, mint a válaszban szereplő DFT és iDFT definíciókat: $$ X [k] = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] e ^ {- j 2 \ pi nk / N} $$ $$ x [n] = \ frac {1} {N} \ összeg \ korlátok_ {k = 0} ^ {N-1} X [ k] e ^ {j 2 \ pi nk / N} $$, és mind a $ x [n] $, mind a $ X [k] $ esetében periodikusak egy $ N $ periódussal: $$ x [n + N ] = x [n] \ qquad \ forall n \ in \ mathbb {Z} $$ $$ X [k + N] = X [k] \ qquad \ forall k \ in \ mathbb {Z} $$ és $ N $ pozitív egész szám. hogy ‘ mindezt a DFS alatt értem.
Válasz
Mivel a DTFT kimenet folyamatos, ezért nem lehet számítógépekkel feldolgozni. Tehát ezt a folyamatos jelet diszkrét formává kell alakítanunk. Nem más, mint a DFT, mint az FFT további előrelépése a számítások csökkentésében.
Válasz
Ha egy folytonos DTFT , minta egy ciklus egységesen, és végezzünk inverz DFT-t, megkapnánk az eredeti végtelen, aperiodikus idősor periodikus összegzésének egyik ciklusát. Ezzel szemben, ha kiszámítanánk a egy ciklust az eredeti végtelen, aperiodikus idősor periodikus összegzéséből, és egy DFT , egy ciklusból mintákat kapnánk a folyamatos DTFT-ből.
Megjegyzések
- Üdvözöljük a webhelyen, Bob K! 🙂
Válasz
Ha jól gondolom, akkor is, ha a DFT bevitel periodikus, bár a minták száma véges, a mögötte álló matematika végtelen szekvenciaként kezeli, amely annak megszüntetése után periodikusan megkezdi a N
mintákat. Kérjük, javítson ki, ha tévedek.
Megjegyzések
- néhányan a comp.dsp nél, hogy én ‘ volt vitájuk a may ” helyes ” veled, de ők ‘ tévedek. nincs különbség a DFT és a Discrete Fourier sorozat között. semmit.
- Annak érdekében, hogy megértsem, mit mondanak ‘ itt, kérdésem lenne a Diszkrét Fourier-sorozat “. Ez a kimenet számsorozat vagy folytonos függvény (egyenlet)?
Válasz
DFT: $ $ X [k] = \ sum_ {n = 0} ^ {N − 1} x [n] e ^ {- j2 \ pi nk / N} $$ fordított lesz: $$ x [n] = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N − 1} X [k] e ^ {j2 \ pi nk / N} $$
megjegyzések
- Kérjük, használja a Latex jelölést, hogy matematikája olvasható legyen, és magyarázza el egy kicsit részletesebben a követett folyamatot, hogy a válasza valóban segítse az OP-t.
DFT is sampled version of DFT and the rate is the length of DFT