Différence entre la transformée de Fourier en temps discret et la transformée de Fourier discrète
On novembre 26, 2020 by adminJai lu de nombreux articles sur DTFT et DFT mais je ne suis pas en mesure de discerner la différence entre les deux sauf pour quelques choses visibles comme DTFT vont jusquà linfini tandis que DFT nest que jusquà N-1. Quelquun peut-il expliquer la différence et quand utiliser quoi? Wiki dit
La DFT diffère de la transformée de Fourier en temps discret (DTFT) en ce que ses séquences dentrée et de sortie sont toutes deux finies; on dit donc que cest lanalyse de Fourier des fonctions à temps discret à domaine fini (ou périodique).
Est-ce la seule différence?
Modifier: Cet article explique bien la différence
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Réponse
Le La transformée de Fourier en temps discret (DTFT) est la transformée de Fourier (conventionnelle) dun signal en temps discret. Sa sortie est continue en fréquence et périodique. Exemple: pour trouver le spectre de la version échantillonnée $ x (kT) $ dun signal à temps continu $ x (t) $, la DTFT peut être utilisée.
La transformée de Fourier discrète (DFT) peut être vu comme la version échantillonnée (dans le domaine fréquentiel) de la sortie DTFT. Il est utilisé pour calculer le spectre de fréquences dun signal à temps discret avec un ordinateur, car les ordinateurs ne peuvent gérer quun nombre fini de valeurs. Je dirais que la sortie DFT est finie. Elle est également périodique et peut donc être poursuivie infiniment.
Pour résumer:
DTFT | DFT input discrete, infinite | discrete, finite *) output contin., periodic | discrete, finite *)
*) Une propriété mathématique de la DFT est que son entrée et sa sortie sont périodiques avec la longueur DFT $ N $. Autrement dit, bien que le vecteur dentrée de la DFT soit fini en pratique, il est juste de dire que la DFT est le spectre échantillonné si lentrée DFT est considérée comme périodique.
Commentaires
- ne vouliez-vous pas dire que lentrée DTFT est en finie?
- @LutzL Il peut être infini en général, oui. Je ‘ changerai cela. Quen est-il de la sortie DFT: préférez-vous lappeler finie ou périodique ?
- Je pense que la sortie DFT est N-périodique, séquence finie
- Dans le DFT, beaucoup dépend de linterprétation. Du point de vue technique, il transforme le fini en fini. Du point de vue quil calcule les coefficients dun polynôme trigonométrique, on pourrait dire quil transforme le périodique discret infini en fini. Mais on peut décaler la fenêtre de fréquences utilisée pour représenter lentrée, et les amplitudes sur toutes les fréquences possibles forment à nouveau une séquence périodique.
- Pour être plus cohérent, je mettrais » périodique » au lieu de » fini » pour lentrée de la DFT. Cest une conséquence directe du fait que la DFT (sortie) est discrète.
Answer
ok, i « m va répondre à cela avec un argument que » opposants » à ma position rigide de type nazi concernant la DFT ont.
tout dabord, ma position rigide et nazie : les séries DFT et Discrete Fourier sont identiques. la DFT cartographie un infini et séquence périodique, $ x [n] $ avec un point $ N $ dans le » time » domaine vers une autre séquence infinie et périodique, $ X [k] $ , toujours avec période $ N $ , dans le domaine » fréquence « . et le iDFT le mappe. et ils « re » bijective » ou inversible » ou » un-à-un » .
DFT: $$ X [k] = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] e ^ {- j 2 \ pi nk / N} $$
iDFT: $$ x [n] = \ frac {1} {N} \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {N-1} X [k] e ^ {j 2 \ pi nk / N} $$
cest fondamentalement ce quest le DFT. cest intrinsèquement une chose périodique ou circulaire.
mais les négateurs de périodicité aiment à dire ceci à propos du DFT. cest vrai, cela ne change rien de ce qui précède.
donc, supposons que vous ayez une séquence de longueur finie $ x [n] $ de longueur $ N $ et, au lieu de létendre périodiquement (ce que fait intrinsèquement le DFT), vous ajoutez cette séquence de longueur finie avec des zéros à linfini sur les deux gauche et droite. donc
$$ \ hat {x} [n] \ triangleq \ begin {cases} x [n] \ qquad & \ text {pour} 0 \ le n \ le N-1 \\ \\ 0 & \ text {sinon} \ end {cases} $$
maintenant, cette séquence infinie non répétitive fait un DTFT:
DTFT: $$ \ hat {X} \ left (e ^ {j \ omega} \ right) = \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {+ \ infty} \ hat {x} [n] e ^ {- j \ omega n} $$
$ \ hat {X } \ left (e ^ {j \ omega} \ right) $ est la transformation en Z de $ \ hat {x} [n] $ évalué sur le cercle unitaire $ z = e ^ {j \ omega} $ pour une infinité de real valeurs de $ \ omega $ . maintenant, si vous deviez échantillonner ce DTFT $ \ hat {X} \ left (e ^ {j \ omega} \ right) $ à $ N $ points également espacés sur le cercle unitaire, avec un point à $ z = e ^ {j \ omega} = 1 $ , vous obtiendrez
$$ \ begin {align} \ hat {X} \ left (e ^ {j \ omega} \ right) \ Bigg | _ {\ omega = 2 \ pi \ frac {k} {N}} & = \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {+ \ infty} \ hat {x } [n] e ^ {- j \ omega n} \ Bigg | _ {\ omega = 2 \ pi \ frac {k} {N}} \\ & = \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {+ \ infty} \ hat {x} [n] e ^ {- j 2 \ pi kn / N} \\ & = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} \ hat {x} [n] e ^ {- j 2 \ pi kn / N} \\ & = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] e ^ {- j 2 \ pi kn / N} \\ & = X [k] \\ \ end {align} $$
cest précisément ainsi que le DFT et le DTFT sont liés. échantillonnage du DTFT à intervalles uniformes dans les causes du domaine » « , dans le domaine » time » domain, la séquence dorigine $ \ hat {x} [n] $ doit être répétée et décalée de tous les multiples de $ N $ et chevauchement ajouté. cest ce que provoque léchantillonnage uniforme dans un domaine dans lautre domaine. mais, puisque $ \ hat {x} [n] $ est supposé être $ 0 $ en dehors de lintervalle $ 0 \ le n \ le N-1 $ , cet ajout par chevauchement ne fait rien. étend périodiquement la partie non nulle de $ \ hat {x} [n] $ , notre séquence originale de longueur finie, $ x [n] $ .
Commentaires
- La réponse acceptée était bonne, mais jai trouvé votre réponse plus perspicace. Merci de fournir le lien mathématique réel entre le DTFT et le DFT … en particulier léchantillonnage des spectres provoquant la périodicité dans le domaine temporel. Cest un point que joublie toujours.
- Votre deuxième paragraphe semble impliquent que les DFT acceptent des séquences dentrée dune longueur infinie. Quelquun a-t-il déjà effectué une DFT de longueur infinie?
- hey Rick, it est heureux de vous voir ici depuis comp.dsp . Je me souviens avoir été accueilli par @PeterK lorsque jai migré pour la première fois (mais je ne quitterai jamais comp.dsp ). de toute façon, au même degré que le DFS accepte une séquence dentrée de longueur infinie est le degré que le DFT accepte une entrée qui est de longueur infinie. tout ‘ si ‘ m disant que le DFT et le DFS sont identiques.
- @robert bristow-johnson. cétait une belle explication. ma question est peut-être mauvaise mais, par série de fourier discrète, vous faites référence au cas où lentrée est une fonction périodique continue qui se poursuit indéfiniment dans les deux sens, nest-ce pas? Daprès ce dont je me souviens, après avoir lu le livre de George silov ‘, si vous augmentez suffisamment le nombre de coefficients de Fourier en utilisant une grille de fréquences suffisamment fine, la série de Fourier reproduire de façon arbitraire une fonction continue de période. cest le fs auquel vous ‘ faites référence, quand vous dites que cest la même chose que DFT, nest-ce pas? Merci.
- Par série discrète de Fourier, je veux dire la même chose que les définitions DFT et iDFT indiquées dans la réponse: $$ X [k] = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] e ^ {- j 2 \ pi nk / N} $$ $$ x [n] = \ frac {1} {N} \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {N-1} X [ k] e ^ {j 2 \ pi nk / N} $$ et, pour les deux $ x [n] $ et $ X [k] $, ils sont périodiques avec une période $ N $: $$ x [n + N ] = x [n] \ qquad \ forall n \ in \ mathbb {Z} $$ $$ X [k + N] = X [k] \ qquad \ forall k \ in \ mathbb {Z} $$ et $ N $ est un entier positif. que ‘ est tout ce que je veux dire par le DFS.
Réponse
La sortie DTFT étant continue, elle ne peut pas être traitée avec des ordinateurs. Nous devons donc convertir ce signal continu en forme discrète. Ce nest rien dautre que la DFT comme une avancée supplémentaire sur la FFT pour réduire les calculs.
Réponse
Si nous devions calculer une DTFT , échantillonnez un cycle de celui-ci uniformément, et effectuer une DFT inverse, nous obtiendrions un cycle dune sommation périodique de la séquence de temps apériodique infinie dorigine. Inversement, si nous devions calculer un cycle dune sommation périodique de la séquence temporelle infinie et apériodique dorigine, et effectuer un DFT , nous obtiendrions échantillons dun cycle du DTFT continu.
Commentaires
- Bienvenue sur le site, Bob K! 🙂
Réponse
Si jai raison, même si lentrée DFT est périodique, bien que le nombre déchantillons est fini, les mathématiques qui la sous-tendent le traitent comme une séquence infinie qui commence périodiquement les échantillons N
après sa fin. Veuillez me corriger si je me trompe.
Commentaires
- certains sur comp.dsp que je ‘ Jai eu des arguments avec pourrait » corriger » vous, mais ils ‘ est faux. il ny a aucune différence entre la DFT et la série discrète de Fourier. aucun.
- Pour maider à comprendre ce que ‘ est dit ici, jai une question concernant la sortie de lopération que vous appelez un » Série de Fourier discrète « . Est-ce que la sortie est une séquence de nombres ou une fonction continue (une équation)?
Réponse
DFT: $ $ X [k] = \ sum_ {n = 0} ^ {N − 1} x [n] e ^ {- j2 \ pi nk / N} $$ SON INVERSE SERA: $$ x [n] = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N − 1} X [k] e ^ {j2 \ pi nk / N} $$
Commentaires
- Veuillez utiliser le balisage Latex pour que vos calculs soient lisibles, et expliquez un peu plus le processus que vous avez suivi, afin que votre réponse puisse réellement aider lOP.
DFT is sampled version of DFT and the rate is the length of DFT