Verschil tussen discrete tijd-fourier-transformatie en discrete fourier-transformatie
Geplaatst op november 26, 2020 door adminIk heb veel artikelen gelezen over DTFT en DFT, maar ik kan het verschil tussen de twee niet onderscheiden, behalve voor een paar zichtbare dingen zoals DTFT gaan tot oneindig terwijl DFT slechts tot N-1 is. Kan iemand het verschil uitleggen en wanneer wat te gebruiken? Wiki zegt
De DFT verschilt van de discrete-tijd Fourier-transformatie (DTFT) doordat de invoer- en uitvoersequenties beide eindig zijn; daarom wordt gezegd dat het de Fourier-analyse is van eindige domein (of periodieke) discrete-tijdfuncties.
Is dit het enige verschil?
Bewerken: Dit artikel legt mooi uit het verschil
Opmerkingen
Antwoord
De discrete-tijd Fourier-transformatie (DTFT) is de (conventionele) Fourier-transformatie van een discrete-tijd signaal. Zijn output is continu in frequentie en periodiek. Voorbeeld: om het spectrum van de gesamplede versie $ x (kT) $ van een continu-tijdsignaal $ x (t) $ te vinden, kan de DTFT worden gebruikt.
De discrete Fourier-transformatie (DFT) kan gezien als de gesamplede versie (in frequentiedomein) van de DTFT-uitvoer. Het wordt gebruikt om het frequentiespectrum van een tijddiscreet signaal met een computer te berekenen, omdat computers maar een eindig aantal waarden aankunnen. Ik zou tegen de DFT-output zijn die eindig is. Het is ook periodiek en kan daarom worden voortgezet oneindig.
Om het samen te vatten:
DTFT | DFT input discrete, infinite | discrete, finite *) output contin., periodic | discrete, finite *)
*) Een wiskundige eigenschap van de DFT is dat zowel de invoer als de uitvoer periodiek zijn met de DFT-lengte $ N $. Dat wil zeggen, hoewel de invoervector naar de DFT in de praktijk eindig is, is het alleen correct om te zeggen dat de DFT het bemonsterde spectrum is als wordt aangenomen dat de DFT-invoer periodiek is.
Reacties
- bedoelde je niet dat de DTFT-invoer in eindig is?
- @LutzL Het kan in het algemeen oneindig zijn, ja. Ik ‘ zal dat veranderen. Hoe zit het met de DFT-uitvoer: noem je het liever eindig of periodiek ?
- ik denk dat de uitvoer van DFT N-periodiek is, eindige reeks
- In de DFT hangt veel af van interpretatie. Vanuit technisch oogpunt transformeert het eindig naar eindig. Vanuit het standpunt dat het de coëfficiënten van een trigonometrische polynoom berekent, zou je kunnen zeggen dat het oneindig discreet periodiek naar eindig transformeert. Maar men kan het venster van frequenties verschuiven dat wordt gebruikt om de invoer weer te geven, en de amplitudes over alle mogelijke frequenties vormen weer een periodieke reeks.
- Om consistenter te zijn zou ik ” periodiek ” in plaats van ” eindig ” voor de invoer van de DFT. Dit is een direct gevolg van het feit dat de DFT (output) discreet is.
Answer
oke, ik “m ga dit beantwoorden met een argument dat ” tegenstanders ” mijn starre nazi-achtige standpunt met betrekking tot de DFT hebben.
allereerst mijn starre, nazi-achtige standpunt : de DFT en Discrete Fourier Series zijn één en hetzelfde. de DFT brengt één oneindig en periodieke reeks, $ x [n] $ met punt $ N $ in de ” tijd ” domein naar een andere oneindige en periodieke reeks, $ X [k] $ , opnieuw met periode $ N $ , in het ” frequentie ” domein. en het iDFT wijst het terug. en ze “re ” bijective ” of omkeerbaar ” of ” een-op-een ” .
DFT: $$ X [k] = \ sum \ limieten_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] e ^ {- j 2 \ pi nk / N} $$
iDFT: $$ x [n] = \ frac {1} {N} \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {N-1} X [k] e ^ {j 2 \ pi nk / N} $$
dat is het meest fundamentele wat de DFT is. het is inherent een periodiek of circulair iets.
maar de periodiciteit ontkenners zeggen dit graag over de DFT. het is waar, het verandert gewoon niets van het bovenstaande.
dus, stel dat je een reeks van eindige lengte $ x [n] $ van lengte $ N $ en in plaats van het periodiek uit te breiden (wat de DFT inherent doet), voeg je deze eindige-lengte reeks oneindig nullen toe aan beide links en rechts. dus
$$ \ hat {x} [n] \ triangleq \ begin {cases} x [n] \ qquad & \ text {for} 0 \ le n \ le N-1 \\ \\ 0 & \ text {anders} \ end {cases} $$
nu, deze niet-herhalende oneindige reeks heeft een DTFT:
DTFT: $$ \ hat {X} \ left (e ^ {j \ omega} \ right) = \ sum \ limieten_ {n = – \ infty} ^ {+ \ infty} \ hat {x} [n] e ^ {- j \ omega n} $$
$ \ hat {X } \ left (e ^ {j \ omega} \ right) $ is de Z-transformatie van $ \ hat {x} [n] $ geëvalueerd op de eenheidscirkel $ z = e ^ {j \ omega} $ voor oneindig veel echt waarden van $ \ omega $ . nu, als u een steekproef van die DTFT $ \ hat {X} \ left (e ^ {j \ omega} \ right) $ zou nemen bij $ N $ gelijkmatig verdeelde punten op de eenheidscirkel, met één punt op $ z = e ^ {j \ omega} = 1 $ , zou je
$$ \ begin {align} \ hat {X} \ left (e ^ {j \ omega} \ right) \ Bigg | _ {\ omega = 2 \ pi \ frac {k} {N}} & = \ sum \ limieten_ {n = – \ infty} ^ {+ \ infty} \ hat {x } [n] e ^ {- j \ omega n} \ Bigg | _ {\ omega = 2 \ pi \ frac {k} {N}} \\ & = \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {+ \ infty} \ hat {x} [n] e ^ {- j 2 \ pi kn / N} \\ & = \ sum \ limieten_ {n = 0} ^ {N-1} \ hat {x} [n] e ^ {- j 2 \ pi kn / N} \\ & = \ sum \ limieten_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] e ^ {- j 2 \ pi kn / N} \\ & = X [k] \\ \ end {align} $$
dat is precies hoe de DFT en DTFT gerelateerd zijn. bemonstering van de DTFT met uniforme intervallen in de ” frequentie ” domeinoorzaken, in de ” tijd ” domein, de oorspronkelijke reeks $ \ hat {x} [n] $ moet worden herhaald en verschoven met alle veelvouden van $ N $ en overlapping toegevoegd. dat “is wat uniforme steekproeven in het ene domein veroorzaken in het andere domein. maar aangezien $ \ hat {x} [n] $ wordt verondersteld $ 0 $ buiten het interval $ 0 \ le n \ le N-1 $ , dat overlapping-toevoegen niets doet. breidt periodiek het niet-nul deel uit van $ \ hat {x} [n] $ , onze oorspronkelijke reeks met eindige lengte, $ x [n] $ .
Reacties
- Het geaccepteerde antwoord was goed, maar ik vond je antwoord inzichtelijker. Bedankt voor het leveren van de feitelijke wiskundige verbinding tussen de DTFT en DFT … vooral de bemonstering van de spectra die periodiciteit in het tijdsdomein veroorzaken. Dat is een punt dat ik altijd vergeet.
- Uw tweede alinea lijkt impliceren dat DFTs invoerreeksen accepteren die oneindig lang zijn. Heeft iemand ooit een DFT van oneindige lengte uitgevoerd?
- hey Rick, het is Het is goed je hier te zien van comp.dsp . ik herinner me dat ik werd begroet door @PeterK toen ik voor het eerst een beetje migreerde (maar ik zal comp.dsp nooit verlaten). hoe dan ook, in dezelfde mate dat de DFS een invoerreeks van oneindige lengte accepteert, is de mate waarin de DFT een invoer accepteert die van oneindige lengte is. alles wat ‘ si ‘ m zegt, is dat de DFT en de DFS hetzelfde zijn.
- @robert bristow-johnson. dit was een mooie uitleg. mijn vraag is misschien slecht, maar met een discrete fourier-reeks verwijst u naar het geval waarin de invoer een continue periodieke functie is die oneindig in beide richtingen doorgaat, correct? Van wat ik me herinner, van het lezen van george silov ‘ s doverbook, als je het aantal fourier-coëfficiënten groot genoeg maakt door een voldoende fijn raster van frequenties te gebruiken, dan kan de fourier-reeks reproduceer een periode-continue functie willekeurig nauwkeurig. dit is de fs waarnaar je ‘ verwijst, als je zegt dat het hetzelfde is als DFT, correct? bedankt.
- met Discrete Fourier Series bedoel ik hetzelfde als de DFT- en iDFT-definities die worden weergegeven in het antwoord: $$ X [k] = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] e ^ {- j 2 \ pi nk / N} $$ $$ x [n] = \ frac {1} {N} \ sum \ limieten_ {k = 0} ^ {N-1} X [ k] e ^ {j 2 \ pi nk / N} $$ en, voor zowel $ x [n] $ als $ X [k] $, zijn ze periodiek met een punt $ N $: $$ x [n + N ] = x [n] \ qquad \ forall n \ in \ mathbb {Z} $$ $$ X [k + N] = X [k] \ qquad \ forall k \ in \ mathbb {Z} $$ en $ N $ is een positief geheel getal. dat ‘ is alles wat ik bedoel met de DFS.
Antwoord
Aangezien DTFT-uitvoer continu is, kan deze niet met computers worden verwerkt. We moeten dit continue signaal dus in discrete vorm omzetten. Het is niets anders dan DFT als een verdere vooruitgang op FFT om berekeningen te verminderen.
Antwoord
Als we een continue DTFT , voorbeeld één cyclus uniform, en een inverse DFT uitvoeren, zouden we een cyclus van een periodieke sommatie van de oorspronkelijke oneindige, aperiodieke tijdreeks verkrijgen. Omgekeerd, als we één cyclus zouden berekenen van een periodieke optelling van de oorspronkelijke oneindige, aperiodieke tijdreeks, en een DFT , zouden we voorbeelden van één cyclus krijgen van de continue DTFT.
Reacties
- Welkom op de site, Bob K! 🙂
Antwoord
Als ik het goed heb, zelfs als de DFT-invoer periodiek is, hoewel het aantal is eindig, behandelt de wiskunde erachter het als een oneindige reeks die periodiek de N
-monsters begint na de beëindiging ervan. Corrigeer me als ik het mis heb.
Reacties
- sommige op comp.dsp dat ik ‘ we hebben argumenten gehad waarmee ” correct ” jij zou kunnen zijn, maar ze ‘ klopt niet. er is geen verschil tussen de DFT en de Discrete Fourier-serie. helemaal geen.
- Om me te helpen begrijpen wat ‘ s hier wordt gezegd, heb ik een vraag over de uitvoer van de bewerking die u Discrete Fourier-serie “. Is die output een reeks getallen of een continue functie (een vergelijking)?
Answer
DFT: $ $ X [k] = \ sum_ {n = 0} ^ {N − 1} x [n] e ^ {- j2 \ pi nk / N} $$ ZIJN INVERSE ZAL ZIJN: $$ x [n] = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N − 1} X [k] e ^ {j2 \ pi nk / N} $$
Opmerkingen
- Gebruik alstublieft Latex-markeringen zodat uw wiskunde leesbaar is, en leg wat meer uit van het door u gevolgde proces, zodat uw antwoord het OP daadwerkelijk kan helpen.
DFT is sampled version of DFT and the rate is the length of DFT