Diferença entre a transformada de Fourier de tempo discreto e a transformada de Fourier discreta
On Novembro 26, 2020 by adminEu li muitos artigos sobre DTFT e DFT, mas não sou capaz de discernir a diferença entre as duas, exceto por algumas coisas visíveis como o DTFT vai até o infinito enquanto o DFT vai até o N-1. Alguém pode explicar a diferença e quando usar o quê? O Wiki diz
O DFT difere da transformada de Fourier de tempo discreto (DTFT) porque suas sequências de entrada e saída são finitas; portanto, diz-se que é a análise de Fourier de funções de tempo discreto de domínio finito (ou periódico).
É a única diferença?
Editar: Este artigo explica bem a diferença
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Resposta
O A transformada de Fourier de tempo discreto (DTFT) é a transformada de Fourier (convencional) de um sinal de tempo discreto. Sua saída é contínua em frequência e periódica. Exemplo: para encontrar o espectro da versão amostrada $ x (kT) $ de um sinal de tempo contínuo $ x (t) $ o DTFT pode ser usado.
A transformada discreta de Fourier (DFT) pode ser visto como a versão amostrada (no domínio da frequência) da saída DTFT. É usado para calcular o espectro de frequência de um sinal de tempo discreto com um computador, porque os computadores só podem lidar com um número finito de valores. Eu argumentaria contra a saída DFT ser finita. Também é periódica e, portanto, pode ser continuada infinitamente.
Para resumir:
DTFT | DFT input discrete, infinite | discrete, finite *) output contin., periodic | discrete, finite *)
*) Uma propriedade matemática do DFT é que tanto sua entrada quanto sua saída são periódicas com o comprimento de DFT $ N $. Ou seja, embora o vetor de entrada para o DFT seja finito na prática, é correto dizer que o DFT é o espectro amostrado se a entrada DFT for considerada periódica.
Comentários
- você não quis dizer que a entrada DTFT é in finita?
- @LutzL Pode ser infinito em geral, sim. Eu ‘ mudarei isso. E sobre a saída DFT: você prefere chamá-la de finita ou periódica ?
- Eu acho que a saída de DFT é N-periódica, sequência finita li>
- No DFT, muito depende da interpretação. Do ponto de vista técnico, ele transforma finito em finito. Do ponto de vista de que calcula os coeficientes de um polinômio trigonométrico, pode-se dizer que transforma o periódico discreto infinito em finito. Mas pode-se mudar a janela de frequências usadas para representar a entrada, e as amplitudes de todas as frequências possíveis formam novamente uma sequência periódica.
- Para ser mais consistente, eu colocaria ” periódico ” em vez de ” finito ” para a entrada do DFT. Esta é uma consequência direta do DFT (saída) ser discreto.
Resposta
tudo bem, i “m vou responder isso com um argumento que ” oponentes ” à minha posição rígida de nazista em relação ao DFT têm.
em primeiro lugar, minha posição rígida e nazista : a série DFT e discreta de Fourier é a mesma. a DFT mapeia um infinito e sequência periódica, $ x [n] $ com período $ N $ na ” tempo ” domínio para outra sequência infinita e periódica, $ X [k] $ , novamente com período $ N $ , no domínio de ” frequência “. e o O iDFT mapeia de volta. e eles “re ” bijetivo ” ou invertível ” ou ” um para um ” .
DFT: $$ X [k] = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] e ^ {- j 2 \ pi nk / N} $$
iDFT: $$ x [n] = \ frac {1} {N} \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {N-1} X [k] e ^ {j 2 \ pi nk / N} $$
que é fundamentalmente o que o DFT é. é inerentemente uma coisa periódica ou circular.
mas os negadores de periodicidade gostam de dizer isso sobre o DFT. é verdade, isso simplesmente não muda nada do acima.
então, suponha que você tenha uma sequência de comprimento finito $ x [n] $ de comprimento $ N $ e, em vez de estendê-lo periodicamente (que é o que o DFT faz inerentemente), você anexa esta sequência de comprimento finito com zeros infinitamente em ambos esquerda e direita. então
$$ \ hat {x} [n] \ triangleq \ begin {cases} x [n] \ qquad & \ text {for} 0 \ le n \ le N-1 \\ \\ 0 & \ text {caso contrário} \ end {cases} $$
agora, esta sequência infinita não repetitiva tem um DTFT:
DTFT: $$ \ hat {X} \ left (e ^ {j \ omega} \ right) = \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {+ \ infty} \ hat {x} [n] e ^ {- j \ omega n} $$
$ \ hat {X } \ left (e ^ {j \ omega} \ right) $ é a transformada Z de $ \ hat {x} [n] $ avaliado no círculo unitário $ z = e ^ {j \ omega} $ para infinitamente muitos reais valores de $ \ omega $ . agora, se você tivesse que provar que DTFT $ \ hat {X} \ left (e ^ {j \ omega} \ right) $ em $ N $ pontos igualmente espaçados no círculo unitário, com um ponto em $ z = e ^ {j \ omega} = 1 $ , você obteria
$$ \ begin {align} \ hat {X} \ left (e ^ {j \ omega} \ right) \ Bigg | _ {\ omega = 2 \ pi \ frac {k} {N}} & = \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {+ \ infty} \ hat {x } [n] e ^ {- j \ omega n} \ Bigg | _ {\ omega = 2 \ pi \ frac {k} {N}} \\ & = \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {+ \ infty} \ hat {x} [n] e ^ {- j 2 \ pi kn / N} \\ & = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} \ hat {x} [n] e ^ {- j 2 \ pi kn / N} \\ & = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] e ^ {- j 2 \ pi kn / N} \\ & = X [k] \\ \ end {align} $$
que é precisamente como o DFT e o DTFT estão relacionados. amostragem da DTFT em intervalos uniformes nas causas de ” frequência ” do domínio, nas ” tempo ” domínio, a sequência original $ \ hat {x} [n] $ a ser repetida e deslocada por todos os múltiplos de $ N $ e sobreposição adicionada. é isso que a amostragem uniforme em um domínio causa no outro domínio, mas, uma vez que $ \ hat {x} [n] $ é hipotetizado ser $ 0 $ fora do intervalo $ 0 \ le n \ le N-1 $ , essa adição de sobreposição não faz nada. apenas estende periodicamente a parte diferente de zero de $ \ hat {x} [n] $ , nossa sequência original de comprimento finito, $ x [n] $ .
Comentários
- A resposta aceita foi boa, mas achei sua resposta mais esclarecedora. Obrigado por fornecer a conexão matemática real entre o DTFT e o DFT … especialmente a amostragem dos espectros que causam a periodicidade no domínio do tempo. Esse é um ponto que sempre esqueço.
- Seu segundo parágrafo parece implica que os DFTs aceitam sequências de entrada de comprimento infinito. Alguém já executou um DFT de comprimento infinito?
- ei Rick, é bom vê-lo aqui de comp.dsp . lembro-me de ser saudado por @PeterK quando fiz a primeira migração (mas nunca deixarei comp.dsp ). de qualquer maneira, o grau em que o DFS aceita uma sequência de entrada de comprimento infinito é o grau em que o DFT aceita uma entrada de comprimento infinito. tudo o que ‘ si ‘ estou dizendo é que o DFT e o DFS são um e o mesmo.
- @robert bristow-johnson. esta foi uma bela explicação. minha pergunta pode ser ruim, mas, por séries discretas de Fourier, você está se referindo ao caso em que a entrada é uma função periódica contínua que continua infinitamente em ambas as direções, correto? Pelo que me lembro, ao ler o livro dover de george silov ‘ s, se você tornar o número de coeficientes de Fourier grande o suficiente usando uma grade de frequências bem fina, a série de Fourier pode reproduzir uma função contínua de período arbitrariamente de perto. este é o fs a que você ‘ se refere quando diz que é o mesmo que DFT, correto? valeu.
- por Série Discreta de Fourier, quero dizer o mesmo que as definições DFT e iDFT mostradas na resposta: $$ X [k] = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] e ^ {- j 2 \ pi nk / N} $$ $$ x [n] = \ frac {1} {N} \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {N-1} X [ k] e ^ {j 2 \ pi nk / N} $$ e, para $ x [n] $ e $ X [k] $, eles são periódicos com um período $ N $: $$ x [n + N ] = x [n] \ qquad \ forall n \ in \ mathbb {Z} $$ $$ X [k + N] = X [k] \ qquad \ forall k \ in \ mathbb {Z} $$ e $ N $ é um número inteiro positivo. que ‘ é tudo que quero dizer com o DFS.
Resposta
Como a saída DTFT é contínua, não pode ser processada com computadores. Portanto, temos que converter este sinal contínuo em forma discreta. Não é nada além de DFT como um avanço adicional em FFT para reduzir cálculos.
Resposta
Se tivéssemos de calcular um DTFT , amostra um ciclo dele uniformemente, e realizando uma DFT inversa, obteríamos um ciclo de uma soma periódica da seqüência de tempo aperiódica infinita original. Por outro lado, se tivéssemos que calcular um ciclo de uma soma periódica do infinito original, sequência de tempo aperiódica e realizar uma DFT , obteríamos amostras de um ciclo do DTFT contínuo.
Comentários
- Bem-vindo ao site, Bob K! 🙂
Resposta
Se eu estiver correto, mesmo se a entrada DFT for periódica, embora o número de amostras é finito, a matemática por trás dele o trata como uma sequência infinita que periodicamente inicia as N
amostras após seu término. Por favor, corrija-me se eu estiver errado.
Comentários
- alguns em comp.dsp que i ‘ tivemos argumentos que podem ” corrigir ” você, mas eles ‘ está errado. não há diferença entre a série DFT e a série discreta de Fourier. absolutamente nenhum.
- Para me ajudar a entender o que ‘ está sendo dito aqui, tenho uma dúvida sobre a saída da operação que você chama de ” Série discreta de Fourier “. Essa saída é uma sequência de números ou uma função contínua (uma equação)?
Resposta
DFT: $ $ X [k] = \ sum_ {n = 0} ^ {N − 1} x [n] e ^ {- j2 \ pi nk / N} $$ SEU INVERSO SERÁ: $$ x [n] = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N − 1} X [k] e ^ {j2 \ pi nk / N} $$
Comentários
DFT is sampled version of DFT and the rate is the length of DFT