Forskel mellem diskret time-fourier-transformation og diskret fourier-transformation
On november 26, 2020 by adminJeg har læst mange artikler om DTFT og DFT, men er ikke i stand til at skelne forskellen mellem de to bortset fra et par synlige ting som DTFT går til uendelig, mens DFT kun er indtil N-1. Kan nogen forklare forskellen, og hvornår skal man bruge hvad? Wiki siger
DFT adskiller sig fra den diskrete Fourier-transformation (DTFT) ved, at dens input og output sekvenser begge er endelige; det siges derfor at være Fourier-analysen af finite-domain (eller periodiske) diskrete tidsfunktioner.
Er det den eneste forskel?
Rediger: Denne artikel forklarer pænt forskellen
Kommentarer
Svar
diskret-time Fourier-transformation (DTFT) er (konventionel) Fourier-transformation af et diskret-tidssignal. Dens output er konstant i frekvens og periodisk. Eksempel: for at finde spektret af den samplede version $ x (kT) $ af et kontinuerligt tidssignal $ x (t) $ kan DTFT bruges.
Den diskrete Fourier-transformation (DFT) kan ses som den samplede version (i frekvensdomæne) af DTFT-output. Det bruges til at beregne frekvensspektret for et diskret tidssignal med en computer, fordi computere kun kan håndtere et endeligt antal værdier. Jeg vil argumentere for, at DFT-output er endelig. Det er også periodisk og kan derfor fortsættes uendeligt.
For at opsummere det:
DTFT | DFT input discrete, infinite | discrete, finite *) output contin., periodic | discrete, finite *)
*) En matematisk egenskab ved DFT er, at både dens input og output er periodiske med DFT-længden $ N $. Det vil sige, selv om inputvektoren til DFT er endelig i praksis, er det kun korrekt at sige, at DFT er det samplede spektrum, hvis DFT-input menes at være periodisk.
Kommentarer
- mente du ikke, at DTFT-indgangen er i endelig?
- @LutzL Det kan være uendelig generelt, ja. Jeg ‘ Jeg ændrer det. Hvad med DFT-output: Vil du hellere kalde det endelig eller periodisk ?
- Jeg tror, output af DFT er N-periodisk, endelig sekvens
- I DFT afhænger meget af fortolkning. Fra et teknisk synspunkt forvandler det endeligt til endeligt. Fra det synspunkt, at det beregner koefficienterne for et trigonometrisk polynom, kan man sige, at det omdanner uendelig diskret periodisk til endelig. Men man kan skifte vinduet med frekvenser, der bruges til at repræsentere input, og amplituderne over alle mulige frekvenser danner igen en periodisk sekvens.
- For at være mere konsistent vil jeg sætte ” periodisk ” i stedet for ” endelig ” til input af DFT. Dette er en direkte konsekvens af, at DFT (output) er diskret.
Svar
okay, i “m vil svare på dette med et argument, som ” modstandere ” til min stive nazi-lignende holdning til DFT har.
først og fremmest, min stive, nazi-lignende position : DFT og Discrete Fourier-serien er den samme. DFT kortlægger en uendelig og periodisk rækkefølge, $ x [n] $ med periode $ N $ i ” tid ” domæne til en anden uendelig og periodisk sekvens, $ X [k] $ , igen med periode $ N $ , i ” frekvens ” domænet. og iDFT kortlægger det igen, og de “re ” bijective ” eller inverterbar ” eller ” en-til-en ” .
DFT: $$ X [k] = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] e ^ {- j 2 \ pi nk / N} $$
iDFT: $$ x [n] = \ frac {1} {N} \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {N-1} X [k] e ^ {j 2 \ pi nk / N} $$
der er mest fundamentalt hvad DFT er. det er i sagens natur en periodisk eller cirkulær ting.
men periodicitetsafvisere kan lide at sige dette om DFT. det er sandt, det ændrer bare ikke noget af det ovenstående.
så antag at du havde en endelig sekvens $ x [n] $ of length $ N $ og i stedet for periodisk at udvide det (hvilket DFT iboende gør), tilføjer du denne sekvens med endelig længde med nuller uendeligt på begge venstre og højre. så
$$ \ hat {x} [n] \ triangleq \ begin {cases} x [n] \ qquad & \ text {for} 0 \ le n \ le N-1 \\ \\ 0 & \ text {ellers} \ end {cases} $$
nu har denne ikke-gentagne uendelige sekvens en DTFT:
DTFT: $$ \ hat {X} \ left (e ^ {j \ omega} \ right) = \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {+ \ infty} \ hat {x} [n] e ^ {- j \ omega n} $$
$ \ hat {X } \ left (e ^ {j \ omega} \ right) $ er Z-transformationen af $ \ hat {x} [n] $ evalueret på enhedscirklen $ z = e ^ {j \ omega} $ for uendeligt mange reelle værdier for $ \ omega $ . nu, hvis du skulle prøve den DTFT $ \ hat {X} \ left (e ^ {j \ omega} \ right) $ ved $ N $ punkter med lige stor afstand på enhedens cirkel med et punkt på $ z = e ^ {j \ omega} = 1 $ , ville du få
$$ \ begin {align} \ hat {X} \ left (e ^ {j \ omega} \ right) \ Bigg | _ {\ omega = 2 \ pi \ frac {k} {N}} & = \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {+ \ infty} \ hat {x } [n] e ^ {- j \ omega n} \ Bigg | _ {\ omega = 2 \ pi \ frac {k} {N}} \\ & = \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {+ \ infty} \ hat {x} [n] e ^ {- j 2 \ pi kn / N} \\ & = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} \ hat {x} [n] e ^ {- j 2 \ pi kn / N} \\ & = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] e ^ {- j 2 \ pi kn / N} \\ & = X [k] \\ \ end {align} $$
det er præcis, hvordan DFT og DTFT er relateret. prøveudtagning af DTFT med ensartede intervaller i ” frekvensen ” domænet forårsager, i ” tid ” domæne, den originale sekvens $ \ hat {x} [n] $ skal gentages og skiftes med alle multipla af $ N $ og overlapning tilføjet. det “er, hvad ensartet prøvetagning i et domæne forårsager i det andet domæne. men da $ \ hat {x} [n] $ antages at være $ 0 $ uden for intervallet $ 0 \ le n \ le N-1 $ , at overlapning tilføjer ikke gør noget. det bare udvider periodisk den ikke-nul del af $ \ hat {x} [n] $ , vores oprindelige sekvens med endelig længde, $ x [n] $ .
Kommentarer
- Det accepterede svar var godt, men jeg fandt dit svar mere indsigtsfuldt. Tak fordi du leverede den faktiske matematiske forbindelse mellem DTFT og DFT … især prøveudtagningen af spektrene, der forårsager periodicitet i tidsdomænet. Det er et punkt, jeg altid glemmer.
- Dit andet afsnit ser ud til at antyder, at DFTer accepterer indgangssekvenser, der er uendelige i længden. Har nogen nogensinde udført en uendelig længde DFT?
- hej Rick, det det er godt at se dig her fra comp.dsp . Jeg husker, at jeg blev mødt af @PeterK, da jeg første gang migrerede over (men jeg vil aldrig forlade comp.dsp ). alligevel, i samme grad som DFS accepterer en indgangssekvens af uendelig længde, er den grad, at DFT accepterer et input, der er af uendelig længde. alt ‘ si ‘ jeg siger er, at DFT og DFS er ens og det samme.
- @robert bristow-johnson. dette var en smuk forklaring. mit spørgsmål kan være dårligt, men ved diskrete fourier-serier henviser du til det tilfælde, hvor input er en kontinuerlig periodisk funktion, der fortsætter uendeligt i begge retninger, korrekt? Fra hvad jeg husker sige, fra at læse george silov ‘ s doverbog, hvis du gør antallet af fourier-koefficienter stort nok ved at bruge et fint nok frekvensgitter, så kan Fourier-serien gengive en periode kontinuerlig funktion vilkårligt tæt. dette er det fs du ‘ henviser til, når du siger, at det er det samme som DFT, korrekt? thx.
- af Discrete Fourier Series, jeg mener det samme som DFT- og iDFT-definitionerne vist i svaret: $$ X [k] = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] e ^ {- j 2 \ pi nk / N} $$ $$ x [n] = \ frac {1} {N} \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {N-1} X [ k] e ^ {j 2 \ pi nk / N} $$ og for både $ x [n] $ og $ X [k] $ er de periodiske med en periode $ N $: $$ x [n + N ] = x [n] \ qquad \ forall n \ i \ mathbb {Z} $$ $$ X [k + N] = X [k] \ qquad \ forall k \ i \ mathbb {Z} $$ og $ N $ er et positivt heltal. at ‘ er alt, hvad jeg mener med DFS.
Svar
Da DTFT-output er kontinuerligt, kan det ikke behandles med computere. Så vi er nødt til at konvertere dette kontinuerlige signal til diskret form. Det er intet andet end DFT som et yderligere fremskridt på FFT at reducere beregninger.
Svar
Hvis vi skulle beregne en kontinuerlig DTFT , prøve en cyklus af det ensartet og udføre en invers DFT, ville vi opnå en cyklus med en periodisk opsummering af den oprindelige uendelige, aperiodiske tidssekvens. Omvendt, hvis vi skulle beregne en cyklus af en periodisk opsummering af den oprindelige uendelige, aperiodiske tidssekvens og udføre en DFT , vi ville få prøver af en cyklus af den kontinuerlige DTFT.
Kommentarer
- Velkommen til siden, Bob K! 🙂
Svar
Hvis jeg har ret, selvom DFT-input er periodisk, selvom antallet af prøver er endelig, matematikken bag den behandler den som en uendelig rækkefølge, der med jævne mellemrum begynder N
prøverne efter dens afslutning. Ret mig, hvis jeg tager fejl.
Kommentarer
- nogle på comp.dsp at jeg ‘ har haft argumenter med måske ” korrekt ” dig, men de ‘ er forkert. der er ingen forskel mellem DFT og Discrete Fourier Series. ingen overhovedet.
- For at hjælpe mig med at forstå, hvad ‘ bliver sagt her, har jeg et spørgsmål angående output af den operation, du kalder en ” Diskret Fourier-serie “. Er det output en række af tal eller en kontinuerlig funktion (en ligning)?
Svar
DFT: $ $ X [k] = \ sum_ {n = 0} ^ {N − 1} x [n] e ^ {- j2 \ pi nk / N} $$ DENNE INVERSE VIL VÆRE: $$ x [n] = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N − 1} X [k] e ^ {j2 \ pi nk / N} $$
Kommentarer
- Brug venligst Latex-markering, så din matematik er læsbar, og forklar lidt mere af den proces, du har fulgt, så dit svar faktisk kan hjælpe OP.
DFT is sampled version of DFT and the rate is the length of DFT