Skillnad mellan diskret fouriertransform och diskret fouriertransform
On november 26, 2020 by adminJag har läst många artiklar om DTFT och DFT men kan inte urskilja skillnaden mellan de två utom några synliga saker som DTFT går till oändlighet medan DFT bara är till N-1. Kan någon förklara skillnaden och när ska jag använda vad? Wiki säger
DFT skiljer sig från den diskreta Fourier-transformen (DTFT) genom att dess in- och utgångssekvenser båda är ändliga; det sägs därför vara Fourier-analysen av finit-domän (eller periodiska) diskreta tidsfunktioner.
Är det den enda skillnaden?
Redigera: Denna artikel förklarar snyggt skillnaden
Kommentarer
Svar
diskret-Fourier-transform (DTFT) är (konventionell) Fourier-transformation av en diskret-tidssignal. Dess produktion är kontinuerlig i frekvens och periodisk. Exempel: för att hitta spektrumet för den samplade versionen $ x (kT) $ för en kontinuerlig tidssignal $ x (t) $ kan DTFT användas.
Den diskreta Fourier-transformen (DFT) kan användas ses som den samplade versionen (i frekvensdomän) av DTFT-utgången. Det används för att beräkna frekvensspektrumet för en diskret tidssignal med en dator, eftersom datorer bara kan hantera ett begränsat antal värden. Jag skulle argumentera för att DFT-utgången är ändlig. Det är också periodiskt och kan därför fortsätta oändligt.
För att sammanfatta det:
DTFT | DFT input discrete, infinite | discrete, finite *) output contin., periodic | discrete, finite *)
*) En matematisk egenskap hos DFT är att både dess ingång och utgång är periodiska med DFT-längden $ N $. Det vill säga, även om ingångsvektorn till DFT är ändlig i praktiken, är det bara korrekt att säga att DFT är det samplade spektrumet om DFT-ingången anses vara periodisk.
Kommentarer
- menade du inte att DTFT-ingången är i finite?
- @LutzL Det kan vara oändlig i allmänhet, ja. Jag ’ Jag ändrar det. Vad sägs om DFT-utgången: vill du hellre kalla det finite eller periodic ?
- Jag tror att output av DFT är N-periodic, finite sequence
- I DFT beror mycket på tolkning. Ur teknisk synvinkel förvandlas det ändligt till ändligt. Ur synvinkeln att den beräknar koefficienterna för ett trigonometriskt polynom kan man säga att det förvandlar oändlig diskret periodisk till ändlig. Men man kan flytta fönstret för frekvenser som används för att representera ingången, och amplituderna över alla möjliga frekvenser bildar igen en periodisk sekvens.
- För att vara mer konsekvent skulle jag sätta ” periodiskt ” istället för ” slutlig ” för ingången till DFT. Detta är en direkt följd av att DFT (output) är diskret.
Svar
okej, jag ”m ska svara på detta med ett argument som ” motståndare ” till min styva naziliknande ståndpunkt angående DFT har.
först och främst min styva, nazi-liknande position : DFT och Discrete Fourier Series är en och samma. DFT kartlägger en oändlig och periodisk sekvens, $ x [n] $ med period $ N $ i ” tid ” domän till en annan oändlig och periodisk sekvens, $ X [k] $ , igen med period $ N $ , i ” frekvens ” domän. och iDFT mappar tillbaka det och de ”re ” bijective ” eller inverterbar ” eller ” en-till-en ” .
DFT: $$ X [k] = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] e ^ {- j 2 \ pi nk / N} $$
iDFT: $$ x [n] = \ frac {1} {N} \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {N-1} X [k] e ^ {j 2 \ pi nk / N} $$
det är i princip vad DFT är. det är i sig en periodisk eller cirkulär sak.
men periodicitetsförnekare vill säga detta om DFT. det är sant, det ändrar bara inget av ovanstående.
så antar att du hade en ändlig sekvens $ x [n] $ of length $ N $ och i stället för att regelbundet förlänga det (vilket är vad DFT i sig gör), lägger du till denna ändliga sekvens med nollor oändligt på båda vänster och höger. så
$$ \ hat {x} [n] \ triangleq \ begin {cases} x [n] \ qquad & \ text {för} 0 \ le n \ le N-1 \\ \\ 0 & \ text {annars} \ end {cases} $$
nu har denna oupprepade oändliga sekvens en DTFT:
DTFT: $$ \ hat {X} \ left (e ^ {j \ omega} \ right) = \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {+ \ infty} \ hat {x} [n] e ^ {- j \ omega n} $$
$ \ hat {X } \ left (e ^ {j \ omega} \ right) $ är Z-transform av $ \ hat {x} [n] $ utvärderas på enhetscirkeln $ z = e ^ {j \ omega} $ för oändligt många real värden för $ \ omega $ . nu, om du skulle prova den DTFT $ \ hat {X} \ left (e ^ {j \ omega} \ right) $ vid $ N $ punkter med jämna mellanrum på enhetscirkeln, med en punkt vid $ z = e ^ {j \ omega} = 1 $ , skulle du få
$$ \ begin {align} \ hat {X} \ left (e ^ {j \ omega} \ right) \ Bigg | _ {\ omega = 2 \ pi \ frac {k} {N}} & = \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {+ \ infty} \ hat {x } [n] e ^ {- j \ omega n} \ Bigg | _ {\ omega = 2 \ pi \ frac {k} {N}} \\ & = \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {+ \ infty} \ hat {x} [n] e ^ {- j 2 \ pi kn / N} \\ & = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} \ hat {x} [n] e ^ {- j 2 \ pi kn / N} \\ & = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] e ^ {- j 2 \ pi kn / N} \\ & = X [k] \\ \ end {align} $$
det är precis hur DFT och DTFT är relaterade. provtagning av DTFT med enhetliga intervall i ” frekvensen ” domän orsakar, i ” tid ” domän, den ursprungliga sekvensen $ \ hat {x} [n] $ som ska upprepas och flyttas med alla multiplar av $ N $ och överlappning har lagts till. det är vad enhetligt provtagning i en domän orsakar i den andra domänen. men eftersom $ \ hat {x} [n] $ antas vara $ 0 $ utanför intervallet $ 0 \ le n \ le N-1 $ , det överlappande tillägget gör ingenting. det bara utvidgar periodiskt delen som inte är noll i $ \ hat {x} [n] $ , vår ursprungliga ändliga längdsekvens, $ x [n] $ .
Kommentarer
- Det accepterade svaret var bra, men jag tyckte att ditt svar var mer insiktsfullt. Tack för att du tillhandahåller den faktiska matematiska kopplingen mellan DTFT och DFT … speciellt provtagningen av spektra som orsakar periodicitet i tidsdomänen. Det är en punkt jag alltid glömmer.
- Ditt andra stycke verkar antyder att DFT accepterar ingångssekvenser som är oändliga i längd. Har någon någonsin utfört en oändlig längd DFT?
- hej Rick, det det är bra att se dig här från comp.dsp . Jag kommer ihåg att jag hälsades av @PeterK när jag först migrerade över (men jag lämnar aldrig comp.dsp ). hur som helst, i samma grad som DFS accepterar en ingångssekvens av oändlig längd är den grad att DFT accepterar en ingång som är av oändlig längd. allt ’ si ’ jag säger är att DFT och DFS är en och samma.
- @ Robert Bristow-Johnson. detta var en vacker förklaring. min fråga kan vara dålig, men med diskreta fourier-serier hänvisar du till fallet där ingången är en kontinuerlig periodisk funktion som fortsätter oändligt i båda riktningarna, eller hur? Från vad jag kommer ihåg säger, från att läsa george silov ’ s dover book, om du gör antalet Fourier-koefficienter tillräckligt stora genom att använda ett tillräckligt fint frekvensnät, så kan Fourier-serien reproducera en period kontinuerlig funktion godtyckligt nära. det här är de fs du ’ hänvisar till, när du säger att det är detsamma som DFT, stämmer det? tack.
- av Discrete Fourier Series, jag menar samma sak som DFT- och iDFT-definitionerna som visas i svaret: $$ X [k] = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] e ^ {- j 2 \ pi nk / N} $$ $$ x [n] = \ frac {1} {N} \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {N-1} X [ k] e ^ {j 2 \ pi nk / N} $$ och för både $ x [n] $ och $ X [k] $ är de periodiska med en period $ N $: $$ x [n + N ] = x [n] \ qquad \ forall n \ i \ mathbb {Z} $$ $$ X [k + N] = X [k] \ qquad \ forall k \ in \ mathbb {Z} $$ och $ N $ är ett positivt heltal. att ’ är allt jag menar med DFS.
Svar
Eftersom DTFT-utdata är kontinuerlig kan den inte bearbetas med datorer. Så vi måste konvertera denna kontinuerliga signal till diskret form. Det är inget annat än DFT som ett ytterligare framsteg på FFT för att minska beräkningarna.
Svar
Om vi skulle beräkna en kontinuerlig DTFT , prov en cykel av det enhetligt och utföra en invers DFT, skulle vi få en cykel av en periodisk summering av den ursprungliga oändliga, aperiodiska tidssekvensen. Omvänt, om vi skulle beräkna en cykel för en periodisk summering av den ursprungliga oändliga, aperiodiska tidssekvensen och utföra en DFT , vi skulle få prover av en cykel för den kontinuerliga DTFT.
Kommentarer
- Välkommen till sajten, Bob K! 🙂
Svar
Om jag har rätt, även om DFT-ingången är periodisk, även om antalet sampel är ändlig, matematiken bakom den behandlar den som en oändlig sekvens som periodiskt börjar N
proverna efter dess avslutning. Korrigera mig om jag har fel.
Kommentarer
- några på comp.dsp att jag ’ har haft argument med att ” rätt ” dig, men de ’ är fel. det finns ingen skillnad mellan DFT och Discrete Fourier Series. ingen alls.
- För att hjälpa mig att förstå vad ’ sägs här har jag en fråga angående utgången för den operation du kallar en ” Diskret Fourier-serie ”. Är det en sekvens av siffror eller en kontinuerlig funktion (en ekvation)?
Svar
DFT: $ $ X [k] = \ sum_ {n = 0} ^ {N − 1} x [n] e ^ {- j2 \ pi nk / N} $$ DESS INVERSE KOMMER: $$ x [n] = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N − 1} X [k] e ^ {j2 \ pi nk / N} $$
Kommentarer
- Använd Latex-märkning så att din matematik är läsbar och förklara lite mer av processen du följde så att ditt svar faktiskt kan hjälpa OP.
DFT is sampled version of DFT and the rate is the length of DFT