Rozdíl mezi diskrétní časovou Fourierovou transformací a diskrétní Fourierovou transformací
On 26 listopadu, 2020 by adminČetl jsem mnoho článků o DTFT a DFT, ale nejsem schopen rozeznat rozdíl mezi těmito dvěma, s výjimkou několik viditelných věcí, jako je DTFT, jde do nekonečna, zatímco DFT je pouze do N-1. Může mi někdo vysvětlit rozdíl a kdy co použít? Wiki říká
DFT se liší od diskrétní Fourierovy transformace (DTFT) tím, že jeho vstupní i výstupní sekvence jsou konečné; proto se říká, že jde o Fourierovu analýzu konečných domén (nebo periodických) funkcí diskrétního času.
Je to jediný rozdíl?
Upravit: Tento článek pěkně vysvětluje rozdíl
Komentáře
Odpověď
diskrétní Fourierova transformace (DTFT) je (konvenční) Fourierova transformace signálu v diskrétním čase. Jeho výstup je nepřetržitý ve frekvenci a periodický. Příklad: k nalezení spektra vzorkované verze $ x (kT) $ kontinuálního signálu $ x (t) $ lze použít DTFT.
Diskrétní Fourierova transformace (DFT) může být je považována za vzorkovanou verzi (ve frekvenční oblasti) výstupu DTFT. Používá se k výpočtu kmitočtového spektra signálu v diskrétním čase pomocí počítače, protože počítače dokážou zpracovat pouze konečný počet hodnot. Tvrdil bych, že výstup DFT je konečný. Je také periodický a může tedy pokračovat nekonečně.
Shrnutí:
DTFT | DFT input discrete, infinite | discrete, finite *) output contin., periodic | discrete, finite *)
*) Matematickou vlastností DFT je, že jeho vstup i výstup jsou periodické s délkou DFT $ N $. To znamená, že i když je vstupní vektor do DFT v praxi konečný, je správné pouze říci, že DFT je vzorkované spektrum, pokud je vstup DFT považován za periodický.
Komentáře
- nemysleli jste tím, že vstup DTFT je konečný?
- @LutzL může být nekonečný obecně, ano. Změním to ‚. A co výstup DFT: raději byste to nazvali konečný nebo periodický ?
- Myslím, že výstup DFT je N-periodický, konečný sled
- V DFT hodně záleží na interpretaci. Z technického hlediska transformuje konečné na konečné. Z hlediska, že vypočítává koeficienty trigonometrického polynomu, lze říci, že transformuje nekonečné diskrétní periodické na konečné. Lze však posunout okno frekvencí použitých k reprezentaci vstupu a amplitudy všech možných frekvencí opět tvoří periodickou sekvenci.
- Abych byl konzistentnější, dal bych “ periodické “ místo “ konečné “ pro vstup DFT. Toto je přímý důsledek toho, že DFT (výstup) je diskrétní.
Odpověď
v pořádku, já „m odpovím na to argumentem, který “ oponenti “ mojí rigidní nacistické pozici ohledně DFT mají.
za prvé, moje rigidní, nazi-like pozice : DFT a diskrétní Fourierova řada je jedna a ta samá. DFT mapuje jednu nekonečnou a periodická posloupnost, $ x [n] $ s periodou $ N $ v “ čas “ domény do jiné nekonečné a periodické posloupnosti, $ X [k] $ , opět s období $ N $ , ve doméně “ frekvence “ a iDFT to mapuje zpět. a jsou „re “ bijective “ nebo invertible “ nebo “ one-to-one “ .
DFT: $$ X [k] = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] e ^ {- j 2 \ pi nk / N} $$
iDFT: $$ x [n] = \ frac {1} {N} \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {N-1} X [k] e ^ {j 2 \ pi nk / N} $$
to je v zásadě to, co DFT je. je to ze své podstaty periodická nebo kruhová věc.
ale popírači periodicity to rádi říkají o DFT. je to pravda, nic to nemění.
Takže předpokládejme, že jste měli sekvenci konečné délky $ x [n] $ of length $ N $ a místo toho, abyste jej pravidelně prodlužovali (což DFT přirozeně dělá), připojte tuto sekvenci konečné délky s nulami nekonečně na obou vlevo a vpravo. takže
$$ \ hat {x} [n] \ triangleq \ begin {cases} x [n] \ qquad & \ text {for} 0 \ le n \ le N-1 \\ \\ 0 & \ text {jinak} \ end {případů} $$
nyní tato neopakující se nekonečná sekvence má DTFT:
DTFT: $$ \ hat {X} \ left (e ^ {j \ omega} \ right) = \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {+ \ infty} \ hat {x} [n] e ^ {- j \ omega n} $$
$ \ hat {X } \ left (e ^ {j \ omega} \ right) $ je Z-transformace $ \ hat {x} [n] $ vyhodnocen na kruhu jednotek $ z = e ^ {j \ omega} $ pro nekonečně mnoho skutečných hodnoty $ \ omega $ . teď, pokud byste měli ochutnat tento DTFT $ \ hat {X} \ left (e ^ {j \ omega} \ right) $ v $ N $ stejně rozmístěné body na jednotkové kružnici, s jedním bodem na $ z = e ^ {j \ omega} = 1 $ , dostali byste
$$ \ begin {align} \ hat {X} \ left (e ^ {j \ omega} \ right) \ Bigg | _ {\ omega = 2 \ pi \ frac {k} {N}} & = \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {+ \ infty} \ hat {x } [n] e ^ {- j \ omega n} \ Bigg | _ {\ omega = 2 \ pi \ frac {k} {N}} \\ & = \ součet \ limits_ {n = – \ infty} ^ {+ \ infty} \ hat {x} [n] e ^ {- j 2 \ pi kn / N} \\ & = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} \ hat {x} [n] e ^ {- j 2 \ pi kn / N} \\ & = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] e ^ {- j 2 \ pi kn / N} \\ & = X [k] \\ \ end {align} $$
přesně tak souvisí DFT a DTFT. vzorkování DTFT v jednotných intervalech v doméně “ frekvence “ v “ čas “ domény, původní sekvence $ \ hat {x} [n] $ , která se má opakovat a posunout všemi násobky z $ N $ a přidáno překrytí. to je to, co jednotné vzorkování v jedné doméně způsobí ve druhé doméně. ale protože $ \ hat {x} [n] $ se předpokládá, že je $ 0 $ mimo interval $ 0 \ le n \ le N-1 $ , přidávání přesahů nic nedělá. prostě pravidelně rozšiřuje nenulovou část $ \ hat {x} [n] $ , naší původní sekvence konečné délky, $ x [n] $ .
Komentáře
- Přijatá odpověď byla dobrá, ale shledal jsem, že vaše odpověď je jasnější. Děkuji za poskytnutí skutečného matematického spojení mezi DTFT a DFT … zejména vzorkování spekter způsobujících periodicitu v časové doméně. To je bod, na který vždy zapomenu.
- Zdá se, že váš druhý odstavec naznačují, že DFT přijímají vstupní sekvence, které mají nekonečnou délku. Provedl někdo někdy DFT s nekonečnou délkou?
- hej Ricku, to je dobré vás zde vidět z comp.dsp . Pamatuji si, že mě pozdravil @PeterK, když jsem poprvé migroval (ale nikdy neopustím comp.dsp ). stejně, do stejné míry, že DFS přijímá vstupní sekvenci nekonečné délky, je stupeň, ve kterém DFT přijímá vstup, který má nekonečnou délku. vše ‚ si ‚ říká se, že DFT a DFS jsou jedno a totéž.
- @robert bristow-johnson. to bylo krásné vysvětlení. moje otázka může být špatná, ale diskrétní Fourierovou řadou máte na mysli případ, kdy je vstup spojitá periodická funkce, která probíhá nekonečně v obou směrech, že? Z toho, co si pamatuji, z čtení knihy george silov ‚ s dover, pokud uděláte dostatečně velký počet Fourierových koeficientů pomocí dostatečně jemné mřížky frekvencí, pak Fourierova řada může reprodukovat periodicky spojitou funkci období libovolně úzce. toto je fs, na které ‚ odkazujete, když řeknete, že je to stejné jako DFT, že? díky.
- od Discrete Fourier Series, mám na mysli totéž jako definice DFT a iDFT uvedené v odpovědi: $$ X [k] = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] e ^ {- j 2 \ pi nk / N} $$ $$ x [n] = \ frac {1} {N} \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {N-1} X [ k] e ^ {j 2 \ pi nk / N} $$ a pro $ x [n] $ i $ X [k] $ jsou periodické s periodou $ N $: $$ x [n + N ] = x [n] \ qquad \ forall n \ in \ mathbb {Z} $$ $$ X [k + N] = X [k] \ qquad \ forall k \ in \ mathbb {Z} $$ a $ N $ je kladné celé číslo. to ‚ vše, co myslím, znamená DFS.
Odpověď
Protože výstup DTFT je spojitý, nelze jej zpracovat pomocí počítačů. Musíme tedy tento spojitý signál převést do diskrétní formy. Není to nic jiného než DFT jako další pokrok ve FFT ke snížení výpočtů.
Odpověď
Pokud bychom měli vypočítat spojitý DTFT , ukázka jeden cyklus toho rovnoměrně a provedeme inverzní DFT, získali bychom jeden cyklus periodického součtu původní nekonečné, neperiodické časové posloupnosti. Naopak, pokud bychom měli vypočítat jeden cyklus periodického součtu původní nekonečné, neperiodické časové posloupnosti a provést DFT , získali bychom vzorky jednoho cyklu průběžného DTFT.
Komentáře
- Vítejte na stránkách, Bob K! 🙂
Odpověď
Pokud mám pravdu, i když je vstup DFT pravidelný, i když počet vzorků je konečný, matematika, která za ním stojí, s ní zachází jako s nekonečnou posloupností, která po jejím ukončení periodicky začíná N
vzorky. Pokud se mýlím, opravte mě.
Komentáře
- někteří na comp.dsp že i ‚ měl argumenty, které by “ opravily “ vás, ale ‚ se mýlí. není rozdíl mezi DFT a diskrétní Fourierovou řadou. vůbec nic.
- Abych lépe pochopil, co se zde říká ‚, mám otázku týkající se výstupu operace, kterou nazýváte “ Diskrétní Fourierovy řady „. Je výstupem posloupnost čísel nebo spojitá funkce (rovnice)?
Odpověď
DFT: $ $ X [k] = \ sum_ {n = 0} ^ {N − 1} x [n] e ^ {- j2 \ pi nk / N} $$ JE TO INVERZE BUDE: $$ x [n] = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N − 1} X [k] e ^ {j2 \ pi nk / N} $$
Komentáře
- Použijte prosím latexové označení, aby byla vaše matematika čitelná, a vysvětlete trochu více postupu, který jste sledovali, aby vaše odpověď mohla OP skutečně pomoci.
DFT is sampled version of DFT and the rate is the length of DFT