이산 시간 푸리에 변환과 이산 푸리에 변환의 차이점
On 11월 26, 2020 by adminDTFT와 DFT에 대한 많은 기사를 읽었지만 다음을 제외하고 둘 사이의 차이점을 식별 할 수 없습니다. DTFT와 같은 몇 가지 가시적 인 것들은 무한대까지 가고 DFT는 N-1까지만 있습니다. 누구든지 차이점과 사용시기를 설명해 주시겠습니까? Wiki는
DFT는 입력 및 출력 시퀀스가 모두 유한하다는 점에서 이산 시간 푸리에 변환 (DTFT)과 다릅니다. 따라서 유한 영역 (또는 주기적) 이산 시간 함수의 푸리에 분석이라고합니다.
유일한 차이점입니까?
수정 : 이 도움말은 차이점
설명
답변
이산 시간 푸리에 변환 (DTFT)은 이산 시간 신호의 (기존) 푸리에 변환입니다. 출력은 주파수와 주기적으로 연속적입니다. 예 : 연속 시간 신호 $ x (t) $의 샘플링 된 버전 $ x (kT) $의 스펙트럼을 찾기 위해 DTFT를 사용할 수 있습니다.
이산 푸리에 변환 (DFT)은 다음과 같습니다. DTFT 출력의 샘플링 된 버전 (주파수 도메인)으로 표시됩니다. 컴퓨터는 유한 한 수의 값만 처리 할 수 있기 때문에 컴퓨터로 이산 시간 신호의 주파수 스펙트럼을 계산하는 데 사용됩니다. DFT 출력이 유한하다고 주장합니다. 또한 주기적이므로 계속 될 수 있습니다. 무한히.
요약 :
DTFT | DFT input discrete, infinite | discrete, finite *) output contin., periodic | discrete, finite *)
*) DFT의 수학적 속성은 입력과 출력이 모두 주기적이라는 것입니다. 즉, DFT에 대한 입력 벡터는 실제로 유한하지만 DFT 입력이 주기적이라고 생각되는 경우 DFT가 샘플링 된 스펙트럼이라고 말하는 것이 정확합니다.
코멘트
- DTFT 입력이 in 한 것을 의미하지 않았습니까?
- @LutzL 일반적으로 무한합니다. 저는 ‘ 변경하겠습니다. DFT 출력은 어떻습니까? 유한 또는 주기적 이라고 부르시겠습니까?
- DFT의 출력은 N 주기적, 유한 시퀀스라고 생각합니다.
- DFT에서 많은 것은 해석에 달려 있습니다. 기술적 인 관점에서 보면 유한에서 유한으로 변환됩니다. 삼각 다항식의 계수를 계산한다는 관점에서 무한 이산주기를 유한으로 변환한다고 말할 수 있습니다. 그러나 입력을 나타내는 데 사용되는 주파수 창을 이동할 수 있으며 가능한 모든 주파수에 대한 진폭은 다시 주기적 시퀀스를 형성합니다.
- 더 일관성을 유지하기 위해 “
주기적 “. 이는 DFT (출력)가 이산되는 직접적인 결과입니다.
답변
좋습니다. ” 반대 “가 DFT와 관련하여 내 엄격한 나치와 같은 입장을 가지고 있다는 주장으로 이에 답할 것입니다.
우선, 나치와 같은 단단한 위치 : DFT와 이산 푸리에 시리즈는 동일합니다. DFT는 하나를 무한대로 매핑하고 iv id = “e8445b0448에서 기간이 $ N $ 인 $ x [n] $ 의 주기적 시퀀스 “>
시간 ” 도메인을 다른 무한 및 주기적 시퀀스 인 $ X [k] $ 에 다시 기간 $ N $ , ” 빈도 ” 도메인 및 iDFT가 다시 매핑하고 “” bijective ” 또는 가역 ” 또는 ” 일대일 ” .
DFT : $$ X [k] = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] e ^ {- j 2 \ pi nk / N} $$
iDFT : $$ x [n] = \ frac {1} {N} \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {N-1} X [k] e ^ {j 2 \ pi nk / N} $$
이것이 가장 근본적으로 DFT입니다. 본질적으로 주기적이거나 순환적인 것입니다.
그러나 주기적 거부자 는 DFT에 대해 이렇게 말하는 것을 좋아합니다. 사실입니다. 위의 어떤 것도 변경하지 않습니다.
따라서 유한 길이의 시퀀스 $ x [n] $ 길이의 $ N $ 이고 주기적으로 확장하는 대신 (DFT가 본질적으로 수행하는 작업 임)이 유한 길이 시퀀스를 양쪽에 무한히 0으로 추가합니다. 왼쪽과 오른쪽입니다.
$$ \ hat {x} [n] \ triangleq \ begin {cases} x [n] \ qquad & \ text {for} 0 \ le n \ le N-1 \\ \\ 0 & \ text {otherwise} \ end {cases} $$
이제 반복되지 않는 무한 시퀀스는 에 DTFT가 있습니다.
DTFT : $$ \ hat {X} \ left (e ^ {j \ omega} \ right) = \ sum \ limits_ {n =-\ infty} ^ {+ \ infty} \ hat {x} [n] e ^ {-j \ omega n} $$
$ \ hat {X } \ left (e ^ {j \ omega} \ right) $ 는 $ \ hat {x} [n] $ 의 Z 변환입니다. span>은 무한히 많은 실제 iv에 대해 단위 원 $ z = e ^ {j \ omega} $ 에서 평가됩니다. $ \ omega $ 의 id = “b9f1030d6a”> 값. 이제 pan class = “math에서 해당 DTFT $ \ hat {X} \ left (e ^ {j \ omega} \ right) $ 를 샘플링한다면 -container “> $ N $ 단위 원에서 동일한 간격의 점, $ z = e ^ {j \ omega} = 1 $ 에 1 점 ,
$$ \ begin {align} \ hat {X} \ left (e ^ {j \ omega} \ right) \ Bigg | _ {\ omega = 2 \ pi \ frac {k} {N}} & = \ sum \ limits_ {n =-\ infty} ^ {+ \ infty} \ hat {x } [n] e ^ {-j \ omega n} \ Bigg | _ {\ omega = 2 \ pi \ frac {k} {N}} \\ & = \ sum \ limits_ {n =-\ infty} ^ {+ \ infty} \ hat {x} [n] e ^ {-j 2 \ pi kn / N} \\ & = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} \ hat {x} [n] e ^ {-j 2 \ pi kn / N} \\ & = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] e ^ {-j 2 \ pi kn / N} \\ & = X [k] \\ \ end {align} $$
이것이 바로 DFT와 DTFT가 관련된 방식입니다. ” 주파수 ” 도메인 원인, “에서 균일 한 간격으로 DTFT 샘플링 시간 ” 도메인, 원래 시퀀스 $ \ hat {x} [n] $ 이 모든 배수로 반복되고 이동됩니다. $ N $ 및 중복 추가됨. 이것이 바로 한 도메인에서 균일 한 샘플링이 다른 도메인에서 발생하는 원인입니다. 그러나 $ \ hat {x} [n] $ 은 $ 0 $ 간격 $ 0 \ le n \ le N-1 $ 을 벗어난 경우 중복 추가는 아무 효과가 없습니다. 원래 유한 길이 시퀀스 인 $ \ hat {x} [n] $ 의 0이 아닌 부분을 주기적으로 확장합니다. $ x [n] $ .
댓글
- 수락 된 답변은 훌륭했지만 더 통찰력있는 답변을 찾았습니다. DTFT와 DFT 사이의 실제 수학적 연결을 제공해 주셔서 감사합니다. 특히 시간 영역에서 주기성을 유발하는 스펙트럼 샘플링을 제공합니다. 이것이 제가 항상 잊고있는 점입니다.
- 두 번째 단락은 다음과 같습니다. DFT가 길이가 무한한 입력 시퀀스를 허용한다는 것을 의미합니다. 무한 길이 DFT를 수행 한 사람이 있습니까?
- Hey Rick, it comp.dsp 에서 만나서 반갑습니다. 내가 처음으로 이주했을 때 @PeterK의 인사를 받았던 기억이납니다 (하지만 절대 comp.dsp 를 떠나지 않을 것입니다). 어쨌든 DFS가 무한 길이의 입력 시퀀스를 받아들이는 것과 같은 정도는 DFT가 무한 길이의 입력을 받아들이는 정도입니다. 모두 ‘ si ‘ m 말은 DFT와 DFS가 하나라는 것입니다.
- @robert bristow-johnson. 이것은 아름다운 설명이었습니다. 내 질문은 나쁠 수 있지만 이산 푸리에 급수에 따르면 입력이 양방향으로 무한히 진행되는 연속주기 함수 인 경우를 언급하고 있습니다. 맞습니까? 제가 기억하는 바에 따르면 George Silov ‘의 도버 책을 읽었을 때 충분히 미세한 주파수 그리드를 사용하여 푸리에 계수의 수를 충분히 크게 만들면 푸리에 급수가 기간 연속 함수를 임의로 가깝게 재현합니다. 이것이 DFT와 동일하다고 말할 때 ‘ 참조하는 fs입니다. 맞습니까? 고마워.
- 이산 푸리에 시리즈에 의해, 저는 답변에 표시된 DFT 및 iDFT 정의와 동일한 의미입니다. $$ X [k] = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] e ^ {-j 2 \ pi nk / N} $$ $$ x [n] = \ frac {1} {N} \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {N-1} X [ k] e ^ {j 2 \ pi nk / N} $$ 및 $ x [n] $ 및 $ X [k] $ 둘 다에 대해 주기적이며 $ N $ : $$ x [n + N ] = x [n] \ qquad \ forall n \ in \ mathbb {Z} $$ $$ X [k + N] = X [k] \ qquad \ forall k \ in \ mathbb {Z} $$ 및 $ N $는 양의 정수입니다. ‘ DFS가 의미하는 모든 것입니다.
답변
DTFT 출력은 연속적이기 때문에 컴퓨터로 처리 할 수 없습니다. 그래서 우리는이 연속적인 신호를 이산적인 형태로 변환해야합니다. 계산을 줄이기위한 FFT의 추가 발전으로서 DFT에 불과합니다.
답변
연속적인 DTFT , 샘플 1주기 를 균일하게하고 역 DFT를 수행하면 원래의 무한한 비 주기적 시간 시퀀스의 주기적 합산의 한주기를 얻을 수 있습니다. 반대로, 원래 무한 비 주기적 시간 시퀀스의 주기적 합계의 한주기 를 계산하고 DFT , 한주기의 샘플 .
댓글
- 사이트에 오신 것을 환영합니다, Bob K! 🙂
답변
내가 맞다면 DFT 입력이 주기적이지만 샘플 수는 유한 한 경우, 그 뒤에있는 수학은 종료 후 주기적으로 N
샘플을 시작하는 무한 시퀀스로 처리합니다. 제가 틀렸다면 정정 해주세요.
댓글
- comp.dsp 의 일부 ‘ 당신과 ” 올바른 ” 논쟁이 있었지만 ‘ 틀 렸습니다. DFT와 Discrete Fourier Series 사이에는 차이가 없습니다. 아무것도 없습니다.
- 여기서 말하는 내용을 ‘ 이해하는 데 도움이되도록 이산 푸리에 시리즈 “. 그 출력이 일련의 숫자 또는 연속 함수 (등식)입니까?
답변
DFT : $ $ X [k] = \ sum_ {n = 0} ^ {N−1} x [n] e ^ {− j2 \ pi nk / N} $$ INVERSE : $$ x [n] = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N−1} X [k] e ^ {j2 \ pi nk / N} $$
댓글
- 수학을 읽을 수 있도록 Latex 마크 업을 사용하고 수행 한 과정을 조금 더 설명하여 답변이 실제로 OP에 도움이 될 수 있도록하십시오.
DFT is sampled version of DFT and the rate is the length of DFT