Różnica między dyskretną transformatą Fouriera w czasie i dyskretną transformatą Fouriera
On 26 listopada, 2020 by adminCzytałem wiele artykułów o DTFT i DFT, ale nie jestem w stanie dostrzec różnicy między nimi, z wyjątkiem kilka widocznych rzeczy, takich jak DTFT idzie do nieskończoności, podczas gdy DFT jest tylko do N-1. Czy ktoś może wyjaśnić różnicę i kiedy z czego skorzystać? Wiki mówi
DFT różni się od dyskretnej transformaty Fouriera (DTFT) tym, że jej sekwencje wejściowe i wyjściowe są skończone; dlatego mówi się, że jest to analiza Fouriera funkcji czasu dyskretnego w domenie skończonej (lub okresowych).
Czy to jedyna różnica?
Edycja: Ten artykuł ładnie wyjaśnia różnica
Komentarze
Odpowiedź
dyskretna transformata Fouriera (DTFT) jest (konwencjonalną) transformatą Fouriera sygnału dyskretnego w czasie. Jego wyjście jest ciągłe i okresowe. Przykład: aby znaleźć widmo próbkowanej wersji $ x (kT) $ ciągłego sygnału czasowego $ x (t) $ można użyć DTFT.
Dyskretna transformata Fouriera (DFT) może być postrzegane jako próbkowana wersja (w dziedzinie częstotliwości) wyjścia DTFT. Jest używany do obliczania widma częstotliwości sygnału dyskretnego w czasie za pomocą komputera, ponieważ komputery mogą obsługiwać tylko skończoną liczbę wartości. Sprzeczałbym się, że wyjście DFT jest skończone. Jest również okresowe i dlatego może być kontynuowane w nieskończoność.
Podsumowując:
DTFT | DFT input discrete, infinite | discrete, finite *) output contin., periodic | discrete, finite *)
*) Matematyczna właściwość DFT polega na tym, że zarówno wejście, jak i wyjście są okresowe z długością DFT $ N $. Oznacza to, że chociaż wektor wejściowy do DFT jest w praktyce skończony, poprawne jest stwierdzenie, że DFT jest widmem próbkowanym, jeśli uważa się, że wejście DFT jest okresowe.
Komentarze
- czy nie chodziło Ci o to, że wejście DTFT jest w skończone?
- @LutzL Może być ogólnie nieskończone, tak. ' Zmienię to. A co z wyjściem DFT: czy wolisz nazwać go skończonym czy okresowym ?
- Myślę, że wyjście DFT jest N-okresową, skończoną sekwencją
- W DFT wiele zależy od interpretacji. Z technicznego punktu widzenia przekształca skończone w skończone. Z punktu widzenia, że oblicza on współczynniki wielomianu trygonometrycznego, można powiedzieć, że przekształca okresową nieskończoną dyskretną w skończoną. Ale można przesunąć okno częstotliwości używane do reprezentowania sygnału wejściowego, a amplitudy we wszystkich możliwych częstotliwościach ponownie tworzą okresową sekwencję.
- Aby być bardziej spójnym, umieściłbym ” okresowe ” zamiast ” skończone ” dla wprowadzenia DFT. Jest to bezpośrednia konsekwencja tego, że DFT (wyjście) jest dyskretne.
Odpowiedź
w porządku, i „m odpowiem argumentem, który ” przeciwnicy ” na moje sztywne, nazistowskie stanowisko dotyczące DFT mają.
przede wszystkim moje sztywne, nazistowskie stanowisko : DFT i Discrete Fourier Series są takie same. DFT odwzorowuje jeden nieskończony i sekwencja okresowa, $ x [n] $ z okresem $ N $ w ” czas ” domeny do innej nieskończonej i okresowej sekwencji, $ X [k] $ , ponownie z okres $ N $ , w domenie ” częstotliwości ” i iDFT odwzorowuje to z powrotem. i „re ” bijective ” lub odwracalny ” lub ” jeden do jednego ” .
DFT: $$ X [k] = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] e ^ {- j 2 \ pi nk / N} $$
iDFT: $$ x [n] = \ frac {1} {N} \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {N-1} X [k] e ^ {j 2 \ pi nk / N} $$
to jest najbardziej fundamentalne znaczenie DFT. jest to z natury rzeczy okresowe lub cykliczne.
ale zaprzeczający okresowości lubią to mówić o DFT. to prawda, po prostu nie zmienia żadnego z powyższych.
więc załóżmy, że masz sekwencję o skończonej długości $ x [n] $ o długości $ N $ i zamiast okresowo go wydłużać (co jest nieodłącznym elementem DFT), dodajesz tę sekwencję o skończonej długości zerami w nieskończoność na obu lewy i prawy. więc
$$ \ hat {x} [n] \ triangleq \ begin {cases} x [n] \ qquad & \ text {for} 0 \ le n \ le N-1 \\ \\ 0 & \ text {else} \ end {cases} $$
teraz ta niepowtarzalna nieskończona sekwencja ma ma DTFT:
DTFT: $$ \ hat {X} \ left (e ^ {j \ omega} \ right) = \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {+ \ infty} \ hat {x} [n] e ^ {- j \ omega n} $$
$ \ hat {X } \ left (e ^ {j \ omega} \ right) $ to transformacja Z $ \ hat {x} [n] $ obliczane na okręgu jednostkowym $ z = e ^ {j \ omega} $ dla nieskończenie wielu real wartości $ \ omega $ . teraz, gdybyś spróbował tego DTFT $ \ hat {X} \ left (e ^ {j \ omega} \ right) $ w $ N $ równomiernie rozmieszczonych punktów na okręgu jednostkowym, z jednym punktem w $ z = e ^ {j \ omega} = 1 $ , otrzymasz
$$ \ begin {align} \ hat {X} \ left (e ^ {j \ omega} \ right) \ Bigg | _ {\ omega = 2 \ pi \ frac {k} {N}} & = \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {+ \ infty} \ hat {x } [n] e ^ {- j \ omega n} \ Bigg | _ {\ omega = 2 \ pi \ frac {k} {N}} \\ & = \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {+ \ infty} \ hat {x} [n] e ^ {- j 2 \ pi kn / N} \\ & = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} \ hat {x} [n] e ^ {- j 2 \ pi kn / N} \\ & = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] e ^ {- j 2 \ pi kn / N} \\ & = X [k] \\ \ end {align} $$
dokładnie to jest powiązanie DFT i DTFT. próbkowanie DTFT w jednakowych odstępach czasu w domenie ” ” powoduje w ” czas ” domena, oryginalna sekwencja $ \ hat {x} [n] $ ma zostać powtórzona i przesunięta o wszystkie wielokrotności z N $ N $ i dodano nakładanie. to właśnie „to, co powoduje jednolite próbkowanie w jednej domenie w drugiej domenie. ale ponieważ $ \ hat {x} [n] $ zakłada się, że jest $ 0 $ poza przedziałem czasu $ 0 \ le n \ le N-1 $ , to nakładające się dodawanie nic nie robi. okresowo rozszerza niezerową część $ \ hat {x} [n] $ , naszą oryginalną sekwencję o skończonej długości, $ x [n] $ .
Komentarze
- Zaakceptowana odpowiedź była dobra, ale uważam, że twoja odpowiedź jest bardziej wnikliwa. Dziękuję za zapewnienie rzeczywistego matematycznego powiązania między DTFT i DFT … zwłaszcza próbkowanie widm powodujące okresowość w dziedzinie czasu. To jest kwestia, o której zawsze zapominam.
- Twój drugi akapit wydaje się być sugeruje, że DFT akceptują sekwencje wejściowe o nieskończonej długości. Czy ktoś kiedykolwiek wykonał DFT o nieskończonej długości?
- hej Rick, it dobrze cię tu widzieć z comp.dsp . Pamiętam, że powitał mnie @PeterK, kiedy po raz pierwszy przeprowadziłem migrację (ale nigdy nie opuszczę comp.dsp ). w każdym razie, w tym samym stopniu, w jakim DFS akceptuje wejściową sekwencję o nieskończonej długości, jest stopień, w jakim DFT akceptuje dane wejściowe o nieskończonej długości. wszystko ' si ' mówię, że DFT i DFS to jedno i to samo.
- @robert bristow-johnson. to było piękne wyjaśnienie. moje pytanie może być złe, ale przez dyskretne szeregi Fouriera odnosisz się do przypadku, w którym dane wejściowe są ciągłą funkcją okresową, która przebiega w nieskończoność w obu kierunkach, prawda? Z tego, co pamiętam, z czytania książki Georgea Silova ' dovera, jeśli liczba współczynników Fouriera będzie wystarczająco duża, używając dostatecznie drobnej siatki częstotliwości, to seria Fouriera może dowolnie dokładnie odtwarzają funkcję ciągłą okresu. to jest fs, do którego ' odnosisz się, kiedy mówisz, że jest to to samo co DFT, prawda? dzięki.
- przez Discrete Fourier Series, mam na myśli to samo, co definicje DFT i iDFT pokazane w odpowiedzi: $$ X [k] = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] e ^ {- j 2 \ pi nk / N} $$ $$ x [n] = \ frac {1} {N} \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {N-1} X [ k] e ^ {j 2 \ pi nk / N} $$ i, zarówno dla $ x [n] $, jak i $ X [k] $, są okresowe z okresem $ N $: $$ x [n + N ] = x [n] \ qquad \ forall n \ in \ mathbb {Z} $$ X [k + N] = X [k] \ qquad \ forall k \ in \ mathbb {Z} $$ i $ N $ jest dodatnią liczbą całkowitą. to ' to wszystko, co mam na myśli przez DFS.
Odpowiedź
Ponieważ wyjście DTFT jest ciągłe, nie można go przetwarzać za pomocą komputerów. Musimy więc przekształcić ten ciągły sygnał w formę dyskretną. To nic innego jak DFT jako dalszy postęp w FFT w celu zmniejszenia liczby obliczeń.
Odpowiedź
Gdybyśmy mieli obliczyć ciągłą DTFT , sample jeden cykl go równomiernie, i wykonamy odwrotną DFT, otrzymalibyśmy jeden cykl okresowego sumowania pierwotnej nieskończonej, nieokresowej sekwencji czasowej. I odwrotnie, gdybyśmy obliczyli jeden cykl okresowego sumowania pierwotnej nieskończonej, aperiodycznej sekwencji czasowej i wykonali DFT , otrzymalibyśmy próbki jednego cyklu ciągłego DTFT.
Komentarze
- Witaj na stronie, Bob K! 🙂
Odpowiedź
Jeśli mam rację, nawet jeśli dane wejściowe DFT są okresowe, chociaż liczba próbek jest skończona, matematyka, która za nią stoi, traktuje ją jako nieskończoną sekwencję, która okresowo rozpoczyna N
próbki po jej zakończeniu. Proszę mnie poprawić, jeśli się mylę.
Komentarze
- niektóre z comp.dsp , które i ' mieliśmy argumenty z mocą ” poprawnym ” Tobą, ale ' są złe. nie ma różnicy między DFT i dyskretnym szeregiem Fouriera. żadnego.
- Aby pomóc mi zrozumieć, co ' jest tutaj powiedziane, mam pytanie dotyczące wyniku operacji, którą nazywasz ” Dyskretne szeregi Fouriera „. Czy wypisuje ciąg liczb, czy funkcję ciągłą (równanie)?
Odpowiedź
DFT: $ $ X [k] = \ sum_ {n = 0} ^ {N − 1} x [n] e ^ {- j2 \ pi nk / N} $$ JEGO ODWRÓCONA BĘDZIE: $$ x [n] = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N − 1} X [k] e ^ {j2 \ pi nk / N} $$
Komentarze
- Użyj znaczników Latex, aby matematyka była czytelna, i wyjaśnij nieco więcej procesu, który wykonałeś, aby Twoja odpowiedź mogła faktycznie pomóc OP.
DFT is sampled version of DFT and the rate is the length of DFT