Unterschied zwischen zeitdiskreter Fourier-Transformation und diskreter Fourier-Transformation
On November 26, 2020 by adminIch habe viele Artikel über DTFT und DFT gelesen, kann aber den Unterschied zwischen beiden nicht erkennen, außer Einige sichtbare Dinge wie DTFT gehen bis ins Unendliche, während DFT nur bis N-1 ist. Kann jemand bitte den Unterschied erklären und wann was zu verwenden ist? Wiki sagt
Die DFT unterscheidet sich von der zeitdiskreten Fourier-Transformation (DTFT) darin, dass ihre Eingabe- und Ausgabesequenzen beide endlich sind. Es handelt sich daher um die Fourier-Analyse von zeitdiskreten Funktionen mit endlicher Domäne (oder periodischer Funktion).
Ist dies der einzige Unterschied?
Bearbeiten: Dieser Artikel erklärt dies ausführlich der Unterschied
Kommentare
- Die DTFT ist eine kontinuierliche Funktion der Frequenz, aber die DFT ist eine diskrete Funktion der Frequenz.
- Der entscheidende Punkt ist,
DFT is sampled version of DFT and the rate is the length of DFT
- @nmxprime Sie meinen, DFT ist eine abgetastete Version von DTFT?
- @endolith Yes.it is
- Der von Ihnen verlinkte Artikel (Seite 2) besagt, dass “ CTFT uns ein diskretes Frequenzspektrum “ gegeben hat. Ist ‚ nicht falsch? Ich dachte, die Frequenz sei in diesem Fall eines aperiodischen Signals mit kontinuierlicher Zeit, das der Fourier-Transformation unterzogen wird, kontinuierlich.
Antwort
Die Die zeitdiskrete Fourier-Transformation (DTFT) ist die (konventionelle) Fourier-Transformation eines zeitdiskreten Signals. Seine Ausgabe ist kontinuierlich in Frequenz und periodisch. Beispiel: Um das Spektrum der abgetasteten Version $ x (kT) $ eines zeitkontinuierlichen Signals $ x (t) $ zu finden, kann die DTFT verwendet werden.
Die diskrete Fourier-Transformation (DFT) kann sein gesehen als die abgetastete Version (im Frequenzbereich) des DTFT-Ausgangs. Es wird verwendet, um das Frequenzspektrum eines zeitdiskreten Signals mit einem Computer zu berechnen, da Computer nur eine endliche Anzahl von Werten verarbeiten können. Ich würde dagegen argumentieren, dass die DFT-Ausgabe endlich ist. Sie ist ebenfalls periodisch und kann daher fortgesetzt werden unendlich.
Um es zusammenzufassen:
DTFT | DFT input discrete, infinite | discrete, finite *) output contin., periodic | discrete, finite *)
*) Eine mathematische Eigenschaft der DFT ist, dass sowohl ihre Eingabe als auch ihre Ausgabe periodisch sind mit der DFT-Länge $ N $. Das heißt, obwohl der Eingangsvektor für die DFT in der Praxis endlich ist, ist es nur richtig zu sagen, dass die DFT das abgetastete Spektrum ist, wenn angenommen wird, dass der DFT-Eingang periodisch ist.
Kommentare
- Meinten Sie nicht, dass die DTFT-Eingabe in endlich ist?
- @LutzL Kann es sei im Allgemeinen unendlich, ja. Ich ‚ werde das ändern. Was ist mit der DFT-Ausgabe: Würden Sie sie lieber endlich oder periodisch nennen?
- Ich denke, die Ausgabe von DFT ist eine N-periodische, endliche Sequenz
- In der DFT hängt vieles von der Interpretation ab. Aus technischer Sicht wandelt es sich endlich in endlich um. Unter dem Gesichtspunkt, dass es die Koeffizienten eines trigonometrischen Polynoms berechnet, könnte man sagen, dass es unendlich diskrete periodische in endliche transformiert. Man kann jedoch das Fenster der Frequenzen verschieben, die zur Darstellung des Eingangs verwendet werden, und die Amplituden über alle möglichen Frequenzen bilden wieder eine periodische Folge.
- Um konsistenter zu sein, würde ich “ periodisch “ anstelle von “ endlich “ für die Eingabe der DFT. Dies ist eine direkte Folge davon, dass die DFT (Ausgabe) diskret ist.
Antwort
in Ordnung, ich bin Ich werde dies mit einem Argument beantworten, das “ Gegner “ meiner starren nazi-ähnlichen Position in Bezug auf die DFT haben.
Zunächst einmal meine starre, naziähnliche Position : Die DFT- und die diskrete Fourier-Reihe sind ein und dieselbe. Die DFT bildet eine unendliche und eine unendliche ab periodische Sequenz $ x [n] $ mit Punkt $ N $ im “ Zeit “ Domäne zu einer anderen unendlichen und periodischen Sequenz, $ X [k] $ , wieder mit Periode $ N $ in der Domäne “ Frequenz “ iDFT ordnet es zurück und sie sind „“ bijektiv “ oder invertierbar “ oder “ eins zu eins “ .
DFT: $$ X [k] = \ sum \ limit_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] e ^ {- j 2 \ pi nk / N} $$
iDFT: $$ x [n] = \ frac {1} {N} \ sum \ limit_ {k = 0} ^ {N-1} X [k] e ^ {j 2 \ pi nk / N} $$
das ist im Grunde das, was die DFT ist. es ist von Natur aus eine periodische oder kreisförmige Sache.
aber die Periodizitätsleugner sagen dies gerne über die DFT. Es ist wahr, es ändert nichts an dem oben Gesagten.
Nehmen wir also an, Sie hatten eine Sequenz endlicher Länge $ x [n] $ of length $ N $ und anstatt es periodisch zu erweitern (was die DFT von Natur aus tut), fügen Sie diese endliche Sequenz mit Nullen unendlich an beide an links und rechts. also
$$ \ hat {x} [n] \ triangleq \ begin {Fälle} x [n] \ qquad & \ text {for} 0 \ le n \ le N-1 \\ \\ 0 & \ text {else} \ end {case} $$
Diese nicht wiederholte unendliche Sequenz hat eine DTFT:
DTFT: $$ \ hat {X} \ left (e ^ {j \ omega} \ right) = \ sum \ limit_ {n = – \ infty} ^ {+ \ infty} \ hat {x} [n] e ^ {- j \ omega n} $$
$ \ hat {X. } \ left (e ^ {j \ omega} \ right) $ ist die Z-Transformation von $ \ hat {x} [n] $ wird auf dem Einheitskreis $ z = e ^ {j \ omega} $ für unendlich viele real Werte von $ \ omega $ . Wenn Sie nun die DTFT $ \ hat {X} \ left (e ^ {j \ omega} \ right) $ bei $ N $ Punkte mit gleichem Abstand auf dem Einheitskreis, mit einem Punkt bei $ z = e ^ {j \ omega} = 1 $ würden Sie
$$ \ begin {align} \ hat {X} \ left (e ^ {j \ omega} \ right) \ Bigg | _ erhalten {\ omega = 2 \ pi \ frac {k} {N}} & = \ sum \ limit_ {n = – \ infty} ^ {+ \ infty} \ hat {x } [n] e ^ {- j \ omega n} \ Bigg | _ {\ omega = 2 \ pi \ frac {k} {N}} \\ & = \ sum \ limit_ {n = – \ infty} ^ {+ \ infty} \ hat {x} [n] e ^ {- j 2 \ pi kn / N} \\ & = \ sum \ limit_ {n = 0} ^ {N-1} \ hat {x} [n] e ^ {- j 2 \ pi kn / N} \\ & = \ sum \ limit_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] e ^ {- j 2 \ pi kn / N} \\ & = X [k] \\ \ end {align} $$
Genau so hängen DFT und DTFT zusammen. Abtasten der DTFT in einheitlichen Intervallen in der “ Frequenz “ -Domänenursachen in der “ Zeit “ Domäne, wobei die ursprüngliche Sequenz $ \ hat {x} [n] $ von allen Vielfachen wiederholt und verschoben wird von $ N $ und Überlappung hinzugefügt. Das ist es, was eine einheitliche Stichprobe in einer Domäne in der anderen Domäne verursacht. Da jedoch $ \ hat {x} [n] $ angenommen wird, dass es sich um $ 0 $ außerhalb des Intervalls $ 0 \ le n \ le N-1 $ , das Hinzufügen von Überlappungen bewirkt nichts erweitert regelmäßig den Nicht-Null-Teil von $ \ hat {x} [n] $ , unserer ursprünglichen Sequenz endlicher Länge, $ x [n] $ .
Kommentare
- Die akzeptierte Antwort war gut, aber ich fand Ihre Antwort aufschlussreicher. Vielen Dank, dass Sie die tatsächliche mathematische Verbindung zwischen DTFT und DFT bereitgestellt haben … insbesondere die Abtastung der Spektren, die Periodizität im Zeitbereich verursachen. Dies ist ein Punkt, den ich immer vergesse.
- Ihr zweiter Absatz scheint zu sein implizieren, dass DFTs Eingabesequenzen mit unendlicher Länge akzeptieren. Hat jemand jemals eine DFT mit unendlicher Länge durchgeführt?
- hey Rick, es Schön, Sie hier von comp.dsp zu sehen. Ich erinnere mich, dass ich von @PeterK begrüßt wurde, als ich zum ersten Mal migrierte (aber ich werde comp.dsp nie verlassen). In dem Maße, in dem die DFS eine Eingabesequenz mit unendlicher Länge akzeptiert, ist der Grad, in dem die DFT eine Eingabe mit unendlicher Länge akzeptiert. Alles, was ‚ si ‚ sagt, ist, dass die DFT und die DFS ein und dasselbe sind.
- @robert bristow-johnson. Das war eine schöne Erklärung. Meine Frage mag schlecht sein, aber mit diskreten Fourier-Reihen beziehen Sie sich auf den Fall, dass die Eingabe eine kontinuierliche periodische Funktion ist, die unendlich in beide Richtungen abläuft, richtig? Soweit ich mich erinnere, kann die Fourier-Reihe nach dem Lesen des Dover-Buches von George Silov ‚, wenn Sie die Anzahl der Fourier-Koeffizienten durch Verwendung eines ausreichend feinen Frequenzgitters groß genug machen, dies tun reproduzieren eine periodenkontinuierliche Funktion beliebig genau. Dies ist das fs, auf das Sie sich ‚ beziehen, wenn Sie sagen, dass es dasselbe ist wie DFT, richtig? Vielen Dank.
- mit diskreten Fourier-Reihen meine ich dasselbe wie die in der Antwort gezeigten DFT- und iDFT-Definitionen: $$ X [k] = \ sum \ limit_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] e ^ {- j 2 \ pi nk / N} $$ $$ x [n] = \ frac {1} {N} \ sum \ limit_ {k = 0} ^ {N-1} X [ k] e ^ {j 2 \ pi nk / N} $$ und sowohl für $ x [n] $ als auch für $ X [k] $ sind sie periodisch mit einer Periode $ N $: $$ x [n + N. ] = x [n] \ qquad \ forall n \ in \ mathbb {Z} $$ $$ X [k + N] = X [k] \ qquad \ forall k \ in \ mathbb {Z} $$ und $ N. $ ist eine positive ganze Zahl. das ‚ ist alles, was ich mit der DFS meine.
Antwort
Da die DTFT-Ausgabe kontinuierlich ist, kann sie nicht mit Computern verarbeitet werden. Wir müssen also dieses kontinuierliche Signal in eine diskrete Form umwandeln. Es ist nichts anderes als DFT als weitere Weiterentwicklung der FFT, um Berechnungen zu reduzieren.
Antwort
Wenn wir eine kontinuierliche DTFT , Beispiel einen Zyklus Wenn wir es gleichmäßig teilen und eine inverse DFT durchführen, erhalten wir einen Zyklus einer periodischen Summierung der ursprünglichen unendlichen, aperiodischen Zeitsequenz. Umgekehrt, wenn wir einen Zyklus einer periodischen Summierung der ursprünglichen unendlichen, aperiodischen Zeitsequenz berechnen und eine DFT , wir würden Abtastwerte eines Zyklus der kontinuierlichen DTFT.
Kommentare
- Willkommen auf der Website, Bob K! 🙂
Antwort
Wenn ich richtig bin, auch wenn die DFT-Eingabe periodisch ist, obwohl die Anzahl der Samples ist endlich, die Mathematik dahinter behandelt es als eine unendliche Folge, die die N
Samples nach ihrer Beendigung periodisch beginnt. Bitte korrigieren Sie mich, wenn ich falsch liege.
Kommentare
- einige bei comp.dsp , dass ich ‚ hatte Argumente mit möglicherweise “ korrigiert “ Sie, aber sie ‚ bin falsch. Es gibt keinen Unterschied zwischen der DFT- und der diskreten Fourier-Reihe. Überhaupt keine.
- Um mir zu helfen, zu verstehen, was ‚ hier gesagt wird, habe ich eine Frage zur Ausgabe der Operation, die Sie als Diskrete Fourier-Reihe „. Ist das eine Folge von Zahlen oder eine stetige Funktion (eine Gleichung)?
Antwort
DFT: $ $ X [k] = \ sum_ {n = 0} ^ {N – 1} x [n] e ^ {- j2 \ pi nk / N} $$ SEINE INVERSE WIRD SEIN: $$ x [n] = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N – 1} X [k] e ^ {j2 \ pi nk / N} $$
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- Bitte verwenden Sie Latex-Markup, damit Ihre Mathematik lesbar ist, und erklären Sie etwas mehr über den Prozess, den Sie befolgt haben, damit Ihre Antwort dem OP tatsächlich helfen kann.
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