La firma de la métrica y la definición del tensor electromagnético
On noviembre 30, 2020 by adminHe leído que la definición del tensor de campo electromagnético es \ begin {ecuación} F ^ {\ mu \ nu} \ equiv \ begin {pmatrix} 0 & E_x & E_y & E_z \\ – E_x & 0 & B_z & -B_y \\ – E_y & -B_z & 0 & B_x \\ – E_z & B_y & -B_x & 0 \ end {pmatrix} \ tag {*} \ end {ecuación} en Introducción a la electrodinámica de David Griffiths, o como $$ F _ {\ mu \ nu} \ equiv \ begin {pmatrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & B_z & -B_y \\ E_y & -B_z & 0 & B_x \\ E_z & B_y & -B_x & 0 \ end {pmatrix} $$ en las Lecture Notes on GR de Sean Carroll, que sé que es coherente a través de $ {F _ {\ mu \ nu} = \ eta _ {\ mu \ alpha} F ^ {\ alpha \ beta} \ eta _ {\ beta \ nu}} $ donde la métrica $ \ eta _ {\ rho \ sigma} $ tiene una firma $ (- +++) $.
Sin embargo, en Wikipedia y otras fuentes (lo siento, no puedo recordar) que usan una firma $ (+ —) $ y definen el tensor EM como el negativo de $ {(*)} $.
Estos son mis pensamientos al respecto: La antisimetría $ F ^ {\ mu \ nu} = – F ^ {\ nu \ mu} $ puede señalar que es solo una desafortunada combinación de letras índice y que para que la notación de las fuentes sea consistente, las dos primeras o Wikipedia deberían cambiar $ \ mu \ nu $ a $ \ nu \ mu $. Si no es el caso, las propiedades parecen ser las mismas; Al principio pensé que el producto interno saldría con un signo menos de diferencia, pero por supuesto no sucedió, y en cuanto a otras entidades con las que he trabajado, e. gramo. la velocidad 4, aunque la firma métrica puede cambiar, el vector contravariante es el mismo en cualquier caso. Sin embargo, nuevamente, he leído que el tensor de energía-estrés cambia de signo dependiendo de la firma.
También lo es la firma de la métrica involucrada en la definición de $ {F ^ {\ mu \ nu}} $ o cualquier tensor? Si es así, ¿cómo puedo saber qué firma está involucrada? o si no, ¿qué pasa con la diferencia del signo menos en las definiciones?
Respuesta
Sea $$ \ eta _ {\ mu \ nu} = {\ rm diag} (+ 1, -1, -1, -1) \ qquad \ bar \ eta_ { \ mu \ nu} = {\ rm diag} (- 1, + 1, + 1, + 1) $$ con las correspondientes leyes de fuerza de Lorentz (en unidades donde la masa es igual a la carga) $$ \ ddot x ^ \ mu = \ eta_ {\ nu \ lambda} F ^ {\ mu \ nu} \ dot x ^ \ lambda \ qquad \ ddot {\ bar x} ^ \ mu = \ bar \ eta _ {\ nu \ lambda} \ bar F ^ {\ mu \ nu} \ dot {\ bar x} ^ \ lambda $$
Como las trayectorias $ x ^ \ mu, \ bar x ^ \ mu $ deberían coincidir (y también todas sus derivadas) para todos condiciones iniciales, podemos equiparar los términos $$ \ tag {1} \ eta _ {\ nu \ lambda} F ^ {\ mu \ nu} = \ bar \ eta _ {\ nu \ lambda} \ bar F ^ {\ mu \ nu} $$ Contratación con la inversa $ \ eta ^ {\ lambda \ sigma} $ de $ \ eta _ {\ nu \ lambda } $ finalmente produce $$ F ^ {\ mu \ sigma} = – \ bar F ^ {\ mu \ sigma} $$ como $$ \ bar \ eta _ {\ nu \ lambda} \ eta ^ {\ lambda \ sigma} = – \ delta_ \ nu ^ {\ sigma} $$ Esto significa que los signos de los componentes del tensor electromagnético $ F ^ {\ mu \ nu} $ sí dependen de la convención métrica. Esto también se aplica a $ F _ {\ mu \ nu} $, mientras que el tensor de rango mixto $ F ^ \ mu {} _ \ nu $ es independiente de esta elección (que es solo (1)).
Comentarios
- ¡Genial! Solo una cosa, usó $ {u ^ \ lambda = \ bar u ^ \ lambda} $ que se conoce por definición de la posición 4, pero también usó $ {\ dot {u} ^ \ mu = \ dot { \ bar {u}} ^ \ mu} $, (ya que uno supuestamente no ' no sabe de antemano que $ {F ^ {\ mu \ sigma} = – \ bar F ^ { \ mu \ sigma}} $) ¿verdad? Entonces, ¿cómo se justifica esto? ¿Se puede siempre definir vectores contravariantes para que sean iguales cualquiera que sea la firma métrica?
- @PedroFigueroa: igual que las velocidades, las aceleraciones (así como cualquier derivada superior de posición) concuerdan – ' estamos tratando con la misma trayectoria; Yo ' aclararé
Responder
Trabajaremos en unidad con $ c = 1 $. En ambas convenciones de signos para la métrica $ \ eta _ {\ mu \ nu} $ definimos la intensidad de campo como
$$ \ tag {1} A ^ {\ mu} ~ = ~ (\ Phi, {\ bf A}). $$
$$ \ etiqueta {2} F _ {\ mu \ nu} ~: = ~ \ parcial _ {\ mu} A _ {\ mu} – \ parcial _ {\ nu} A _ {\ mu} , \ qquad \ mu, \ nu ~ \ in ~ \ {0,1,2,3 \}. $$
$$ \ etiqueta {3} E_i ~: = ~ – \ parcial_i \ Phi – \ parcial_0 A ^ i, \ qquad i ~ \ in ~ \ {1,2,3 \}. $$
[La relación (3) se puede recordar parcialmente por el hecho de que en electrostática, se exige que $ {\ bf E} ~ = ~ – {\ bf \ nabla} \ Phi $. Resulta que el resto de la ecuación. (3) luego se fija por consistencia.] Los tensores se suben y bajan con el tensor métrico $ \ eta _ {\ mu \ nu} $.
Entonces es sencillo comprobar que esto implica que en la firma
$$ \ tag {4} (+, -, -, -) \ qquad \ text {resp.} \ qquad (-, +, +, +), $$
el $ 4 $ -potencial $ A _ {\ mu} $ con índice más bajo es
$$ \ tag {5 } A _ {\ mu} ~ = ~ (\ Phi, – {\ bf A}) \ qquad \ text {resp.} \ Qquad A _ {\ mu} ~ = ~ (- \ Phi, {\ bf A}), $$
y el campo eléctrico $ {\ bf E} $ es
$$ \ tag {6} E_i ~ = ~ F_ {0i} \ qquad \ text {resp. } \ qquad E_i ~ = ~ F_ {i0}. $$
Consulte también esta publicación relacionada con Phys.SE.
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