Signaturen til metrikken og definisjonen av den elektromagnetiske tensoren
On november 30, 2020 by adminJeg har lest definisjonen av det elektromagnetiske felt tensoren som skal være \ begin {ligning} F ^ {\ mu \ nu} \ equiv \ begin {pmatrix} 0 & E_x & E_y & E_z \\ – E_x & 0 & B_z & -B_y \\ – E_y & -B_z & 0 & B_x \\ – E_z & B_y & -B_x & 0 \ end {pmatrix} \ tag {*} \ end {ligning} i Introduksjon til elektrodynamikk av David Griffiths, eller som $$ F _ {\ mu \ nu} \ equiv \ begin {pmatrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & B_z & -B_y \\ E_y & -B_z & 0 & B_x \\ E_z & B_y & -B_x & 0 \ end {pmatrix} $$ på Forelesningsnotater om GR av Sean Carroll, som jeg vet er konsekvent via $ {F _ {\ mu \ nu} = \ eta _ {\ mu \ alpha} F ^ {\ alpha \ beta} \ eta _ {\ beta \ nu}} $ hvor beregningen $ \ eta _ {\ rho \ sigma} $ har en $ (- +++) $ signatur.
Imidlertid på Wikipedia og andre kilder (beklager at jeg ikke kan huske) bruker de en $ (+ —) $ signatur og de definerer EM-tensoren til å være negativ på $ {(*)} $.
Dette er tankene mine om det: Antisymmetrien $ F ^ {\ mu \ nu} = – F ^ {\ nu \ mu} $ kan påpeke at det bare er en uheldig blanding av indeksbokstaver, og at for at kildens notasjon skal være konsekvent, bør de to første eller Wikipedia endre $ \ mu \ nu $ til $ \ nu \ mu $. Hvis ikke tilfelle, ser egenskapene ut til å være de samme; først trodde jeg at det indre produktet ville komme til å være et minustegn på forskjell, men det skjedde selvfølgelig ikke, og når det gjelder andre enheter jeg har jobbet med, f.eks. g. 4-hastigheten, selv om den metriske signaturen kan endres, er den motstridende vektoren den samme i begge tilfeller. Imidlertid har jeg lest at stressenergitensoren endrer tegn avhengig av signaturen.
Så er signaturen til beregningen involvert i definisjonen av $ {F ^ {\ mu \ nu}} $ eller hvilken som helst tensor? Hvis ja, hvordan kan jeg vite hvilken signatur som er involvert? eller hvis ikke, hva skjer med minustegnforskjellen på definisjonene?
Svar
La $$ \ eta _ {\ mu \ nu} = {\ rm diag} (+ 1, -1, -1, -1) \ qquad \ bar \ eta_ { \ mu \ nu} = {\ rm diag} (- 1, + 1, + 1, + 1) $$ med tilsvarende Lorentz-kraftlover (i enheter der masse er lik ladning) $$ \ ddot x ^ \ mu = \ eta_ {\ nu \ lambda} F ^ {\ mu \ nu} \ dot x ^ \ lambda \ qquad \ ddot {\ bar x} ^ \ mu = \ bar \ eta _ {\ nu \ lambda} \ bar F ^ {\ mu \ nu} \ dot {\ bar x} ^ \ lambda $$
Som banene $ x ^ \ mu, \ bar x ^ \ mu $ bør være enige (og det samme vil alle dets derivater) for alle innledende betingelser, kan vi likestille begrepene $$ \ tag {1} \ eta _ {\ nu \ lambda} F ^ {\ mu \ nu} = \ bar \ eta _ {\ nu \ lambda} \ bar F ^ {\ mu \ nu} $$ Kontrahering med den omvendte $ \ eta ^ {\ lambda \ sigma} $ av $ \ eta _ {\ nu \ lambda } $ gir til slutt $$ F ^ {\ mu \ sigma} = – \ bar F ^ {\ mu \ sigma} $$ som $$ \ bar \ eta _ {\ nu \ lambda} \ eta ^ {\ lambda \ sigma} = – \ delta_ \ nu ^ {\ sigma} $$ Dette betyr at tegnene til komponentene i den elektromagnetiske tensoren $ F ^ {\ mu \ nu} $ faktisk avhenger av metrisk konvensjon. Dette gjelder også $ F _ {\ mu \ nu} $, mens tensoren med blandet rangering $ F ^ \ mu {} _ \ nu $ er uavhengig av dette valget (som er bare (1)).
Kommentarer
- Flott! Bare én ting, du brukte $ {u ^ \ lambda = \ bar u ^ \ lambda} $ som er kjent per definisjon av 4-posisjonen, men du brukte også $ {\ dot {u} ^ \ mu = \ dot { \ bar {u}} ^ \ mu} $, (som man visstnok ikke ' ikke vet på forhånd at $ {F ^ {\ mu \ sigma} = – \ bar F ^ { \ mu \ sigma}} $) ikke sant? Så hvordan er dette berettiget? Kan man alltid definere kontravariantvektorer til å være de samme uansett hvilken metrisk signatur er?
- @ PedroFigueroa: samme som hastigheter, akselerasjoner (så vel som alle høyere posisjonsderivater) er enige – vi ' har å gjøre med den samme banen; Jeg ' vil avklare
Svar
Vi skal jobbe i enhet med $ c = 1 $. I begge tegnkonvensjonene for beregningen $ \ eta _ {\ mu \ nu} $ definerer vi feltstyrken som
$$ \ tag {1} A ^ {\ mu} ~ = ~ (\ Phi, {\ bf A}). $$
$$ \ tag {2} F _ {\ mu \ nu} ~: = ~ \ partial _ {\ mu} A _ {\ mu} – \ partial _ {\ nu} A _ {\ mu} , \ qquad \ mu, \ nu ~ \ i ~ \ {0,1,2,3 \}. $$
$$ \ tag {3} E_i ~: = ~ – \ partial_i \ Phi – \ partial_0 A ^ i, \ qquad i ~ \ in ~ \ {1,2,3 \}. $$
[Relasjonen (3) kan delvis huskes av det faktum at man i elektrostatikk krever $ {\ bf E} ~ = ~ – {\ bf \ nabla} \ Phi $. Det viser seg at resten av ekv. (3) blir deretter løst av konsistens.] Tensorer heves og senkes med den metriske tensoren $ \ eta _ {\ mu \ nu} $.
Det er da greit å sjekke at dette innebærer at i signatur
$$ \ tag {4} (+, -, -, -) \ qquad \ text {resp.} \ qquad (-, +, +, +), $$
$ 4 $ -potensialet $ A _ {\ mu} $ med lavere indeks er
$$ \ tag {5 } A _ {\ mu} ~ = ~ (\ Phi, – {\ bf A}) \ qquad \ text {resp.} \ Qquad A _ {\ mu} ~ = ~ (- \ Phi, {\ bf A}), $$
og det elektriske feltet $ {\ bf E} $ er
$$ \ tag {6} E_i ~ = ~ F_ {0i} \ qquad \ text {resp. } \ qquad E_i ~ = ~ F_ {i0}. $$
Se også dette relaterte Phys.SE-innlegget.
Legg igjen en kommentar