Podpis metryki i definicja tensora elektromagnetycznego
On 30 listopada, 2020 by adminPrzeczytałem definicję tensora pola elektromagnetycznego, aby \ begin {equation} F ^ {\ mu \ nu} \ equiv \ begin {pmatrix} 0 & E_x & E_y & E_z \\ – E_x & 0 & B_z & -B_y \\ – E_y & -B_z & 0 & B_x \\ – E_z & B_y & -B_x & 0 \ end {pmatrix} \ tag {*} \ end {equation} w Wprowadzenie do elektrodynamiki Davida Griffithsa lub jako $$ F _ {\ mu \ nu} \ equiv \ begin {pmatrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & B_z & -B_y \\ E_y & -B_z & 0 & B_x \\ E_z & B_y & -B_x & 0 \ end {pmatrix} $$ w Notatki do wykładu na temat GR autorstwa Seana Carrolla, o których wiem, że są spójne dzięki $ {F _ {\ mu \ nu} = \ eta _ {\ mu \ alpha} F ^ {\ alpha \ beta} \ eta _ {\ beta \ nu}} $ gdzie metryka $ \ eta _ {\ rho \ sigma} $ ma podpis $ (- +++) $.
Jednak w Wikipedii i innych źródłach (przepraszam, że nie pamiętam) używają podpis $ (+ —) $ i definiują tensor EM jako minus $ {(*)} $.
Oto moje przemyślenia na ten temat: Antysymetria $ F ^ {\ mu \ nu} = – F ^ {\ nu \ mu} $ może wskazywać, że jest to po prostu niefortunna mieszanka liter indeksu i aby zapis źródła był spójny, albo pierwsze dwa, albo Wikipedia powinny zmienić $ \ mu \ nu $ do $ \ nu \ mu $. Jeśli tak nie jest, właściwości wydają się takie same; na początku myślałem, że iloczyn iloczynu wewnętrznego wyskoczy ze znakiem minus różnicy, ale oczywiście tak się nie stało, a jeśli chodzi o inne jednostki, z którymi pracowałem, np. sol. 4 prędkości, chociaż sygnatura metryczna może się zmieniać, wektor kontrawariantny jest taki sam w obu przypadkach. Jednak ponownie przeczytałem, że tensor energii naprężenia zmienia znak w zależności od podpisu.
Podobnie jest z sygnaturą metryki związanej z definicją $ {F ^ {\ mu \ nu}} $ lub jakikolwiek tensor? Jeśli tak, skąd mam wiedzieć, o który podpis chodzi? A jeśli nie, o co chodzi z różnicą między znakami minus w definicjach?
Odpowiedź
Niech $$ \ eta _ {\ mu \ nu} = {\ rm diag} (+ 1, -1, -1, -1) \ qquad \ bar \ eta_ { \ mu \ nu} = {\ rm diag} (- 1, + 1, + 1, + 1) $$ z odpowiednimi prawami siły Lorentza (w jednostkach, w których masa równa się ładunkowi) $$ \ ddot x ^ \ mu = \ eta_ {\ nu \ lambda} F ^ {\ mu \ nu} \ dot x ^ \ lambda \ qquad \ ddot {\ bar x} ^ \ mu = \ bar \ eta _ {\ nu \ lambda} \ bar F ^ {\ mu \ nu} \ dot {\ bar x} ^ \ lambda $$
Ponieważ trajektorie $ x ^ \ mu, \ bar x ^ \ mu $ powinny się zgadzać (podobnie jak wszystkie jego pochodne) dla wszystkich warunki początkowe, możemy przyrównać warunki $$ \ tag {1} \ eta _ {\ nu \ lambda} F ^ {\ mu \ nu} = \ bar \ eta _ {\ nu \ lambda} \ bar F ^ {\ mu \ nu} $$ Kontraktacja z odwrotnością $ \ eta ^ {\ lambda \ sigma} $ z $ \ eta _ {\ nu \ lambda } $ w końcu daje $$ F ^ {\ mu \ sigma} = – \ bar F ^ {\ mu \ sigma} $$ as $$ \ bar \ eta _ {\ nu \ lambda} \ eta ^ {\ lambda \ sigma} = – \ delta_ \ nu ^ {\ sigma} $$ Oznacza to, że znaki składowych tensora elektromagnetycznego $ F ^ {\ mu \ nu} $ rzeczywiście zależą od konwencji metrycznej. Dotyczy to również $ F _ {\ mu \ nu} $, podczas gdy tensor rangi mieszanej $ F ^ \ mu {} _ \ nu $ jest niezależny od tego wyboru (czyli tylko (1)).
Komentarze
- Świetnie! Tylko jedno, użyłeś $ {u ^ \ lambda = \ bar u ^ \ lambda} $, który jest znany z definicji pozycji 4, ale użyłeś także $ {\ dot {u} ^ \ mu = \ dot { \ bar {u}} ^ \ mu} $, (jak przypuszczalnie nie ' nie wiem wcześniej, że $ {F ^ {\ mu \ sigma} = – \ bar F ^ { \ mu \ sigma}} $), prawda? Więc jak to jest uzasadnione? Czy zawsze można zdefiniować wektory kontrawariantne, aby były takie same, niezależnie od sygnatury metrycznej?
- @PedroFigueroa: tak samo jak prędkości, przyspieszenia (a także wszelkie wyższe pochodne pozycji) zgadzają się – mamy ' mamy do czynienia z tą samą trajektorią; ' wyjaśnię
Odpowiedź
Będziemy pracować w jednostka z $ c = 1 $. W obu konwencjach znaków dla metryki $ \ eta _ {\ mu \ nu} $ definiujemy siłę pola jako
$$ \ tag {1} A ^ {\ mu} ~ = ~ (\ Phi, {\ bf A}). $$
$$ \ tag {2} F _ {\ mu \ nu} ~: = ~ \ częściowe _ {\ mu} A _ {\ mu} – \ częściowe _ {\ nu} A _ {\ mu} , \ qquad \ mu, \ nu ~ \ in ~ \ {0,1,2,3 \}. $$
$$ \ tag {3} E_i ~: = ~ – \ Partial_i \ Phi – \ Partial_0 A ^ i, \ qquad i ~ \ in ~ \ {1,2,3 \}. $$
[Relację (3) można częściowo zapamiętać przez fakt, że w elektrostatyce żąda się, aby $ {\ bf E} ~ = ~ – {\ bf \ nabla} \ Phi $. Okazuje się, że reszta równ. (3) jest następnie ustalany przez spójność.] Tensory są podnoszone i obniżane za pomocą tensora metrycznego $ \ eta _ {\ mu \ nu} $.
Można więc łatwo sprawdzić, czy oznacza to, że w podpisie
$$ \ tag {4} (+, -, -, -) \ qquad \ text {odp.} \ qquad (-, +, +, +), $$
$ 4 $ -potential $ A _ {\ mu} $ z niższym indeksem to
$$ \ tag {5 } A _ {\ mu} ~ = ~ (\ Phi, – {\ bf A}) \ qquad \ text {odp.} \ Qquad A _ {\ mu} ~ = ~ (- \ Phi, {\ bf A}), $$
a pole elektryczne $ {\ bf E} $ to
$$ \ tag {6} E_i ~ = ~ F_ {0i} \ qquad \ text {odp. } \ qquad E_i ~ = ~ F_ {i0}. $$
Zobacz także ten powiązany post Phys.SE.
Dodaj komentarz