La firma della metrica e la definizione del tensore elettromagnetico
Su Novembre 30, 2020 da adminHo letto che la definizione del tensore del campo elettromagnetico deve essere \ begin {equation} F ^ {\ mu \ nu} \ equiv \ begin {pmatrix} 0 & E_x & E_y & E_z \\ – E_x & 0 & B_z & -B_y \\ – E_y & -B_z & 0 & B_x \\ – E_z & B_y & -B_x & 0 \ end {pmatrix} \ tag {*} \ end {equation} in Introduzione allelettrodinamica di David Griffiths, o come $$ F _ {\ mu \ nu} \ equiv \ begin {pmatrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & B_z & -B_y \\ E_y & -B_z & 0 & B_x \\ E_z & B_y & -B_x & 0 \ end {pmatrix} $$ sulle Lecture Notes su GR di Sean Carroll, che so essere coerente tramite $ {F _ {\ mu \ nu} = \ eta _ {\ mu \ alpha} F ^ {\ alpha \ beta} \ eta _ {\ beta \ nu}} $ dove la metrica $ \ eta _ {\ rho \ sigma} $ ha una $ (- +++) $ firma.
Tuttavia su Wikipedia e altre fonti (mi spiace non ricordo) usano una firma $ (+ —) $ e definiscono il tensore EM come il negativo di $ {(*)} $.
Questi sono i miei pensieri al riguardo: Lantisimmetria $ F ^ {\ mu \ nu} = – F ^ {\ nu \ mu} $ potrebbe far notare che è solo uno sfortunato mix di lettere indice e che affinché la notazione delle fonti sia coerente, le prime due o Wikipedia dovrebbero cambiare $ \ mu da \ nu $ a $ \ nu \ mu $. In caso contrario, le proprietà sembrano essere le stesse; Allinizio pensavo che il prodotto interno sarebbe saltato fuori un segno meno di differenza, ma ovviamente non è successo, e come per altre entità con cui ho lavorato, e. g. la velocità a 4, sebbene la firma metrica possa cambiare, il vettore controvariante è lo stesso in entrambi i casi. Tuttavia, di nuovo, ho letto che il tensore energia-stress cambia segno a seconda della firma.
Così è la firma della metrica coinvolta nella definizione di $ {F ^ {\ mu \ nu}} $ o qualsiasi tipo di tensore? In caso affermativo, come posso sapere quale firma è coinvolta? o se no, qual è il problema con la differenza del segno meno sulle definizioni?
Risposta
Sia $$ \ eta _ {\ mu \ nu} = {\ rm diag} (+ 1, -1, -1, -1) \ qquad \ bar \ eta_ { \ mu \ nu} = {\ rm diag} (- 1, + 1, + 1, + 1) $$ con le corrispondenti leggi della forza di Lorentz (in unità dove la massa è uguale alla carica) $$ \ ddot x ^ \ mu = \ eta_ {\ nu \ lambda} F ^ {\ mu \ nu} \ dot x ^ \ lambda \ qquad \ ddot {\ bar x} ^ \ mu = \ bar \ eta _ {\ nu \ lambda} \ bar F ^ {\ mu \ nu} \ dot {\ bar x} ^ \ lambda $$
Poiché le traiettorie $ x ^ \ mu, \ bar x ^ \ mu $ dovrebbero concordare (e così tutte le sue derivate) per tutte condizioni iniziali, possiamo equiparare i termini $$ \ tag {1} \ eta _ {\ nu \ lambda} F ^ {\ mu \ nu} = \ bar \ eta _ {\ nu \ lambda} \ bar F ^ {\ mu \ nu} $$ Contratto con linverso $ \ eta ^ {\ lambda \ sigma} $ di $ \ eta _ {\ nu \ lambda } $ infine restituisce $$ F ^ {\ mu \ sigma} = – \ bar F ^ {\ mu \ sigma} $$ come $$ \ bar \ eta _ {\ nu \ lambda} \ eta ^ {\ lambda \ sigma} = – \ delta_ \ nu ^ {\ sigma} $$ Questo significa che i segni dei componenti del tensore elettromagnetico $ F ^ {\ mu \ nu} $ dipendono effettivamente dalla convenzione metrica. Questo vale anche per $ F _ {\ mu \ nu} $, mentre il tensore di rango misto $ F ^ \ mu {} _ \ nu $ è indipendente da questa scelta (che è solo (1)).
Commenti
- Fantastico! Solo una cosa, hai usato $ {u ^ \ lambda = \ bar u ^ \ lambda} $ che è noto per definizione di 4 posizioni, ma hai anche usato $ {\ dot {u} ^ \ mu = \ dot { \ bar {u}} ^ \ mu} $, (poiché uno presumibilmente ' non sa in anticipo che $ {F ^ {\ mu \ sigma} = – \ bar F ^ { \ mu \ sigma}} $) giusto? Allora come è giustificato? Si può sempre definire vettori controvarianti come uguali qualunque sia la firma metrica?
- @PedroFigueroa: come le velocità, le accelerazioni (così come qualsiasi derivata più alta della posizione) concordano – ' abbiamo a che fare con la stessa traiettoria; ' chiarirò
Risposta
Lavoreremo in unità con $ c = 1 $. In entrambe le convenzioni sui segni per la metrica $ \ eta _ {\ mu \ nu} $ definiamo lintensità del campo come
$$ \ tag {1} A ^ {\ mu} ~ = ~ (\ Phi, {\ bf A}). $$
$$ \ tag {2} F _ {\ mu \ nu} ~: = ~ \ partial _ {\ mu} A _ {\ mu} – \ partial _ {\ nu} A _ {\ mu} , \ qquad \ mu, \ nu ~ \ in ~ \ {0,1,2,3 \}. $$
$$ \ tag {3} E_i ~: = ~ – \ partial_i \ Phi – \ partial_0 A ^ i, \ qquad i ~ \ in ~ \ {1,2,3 \}. $$
[La relazione (3) può essere parzialmente ricordata dal fatto che in elettrostatica, si richiede che $ {\ bf E} ~ = ~ – {\ bf \ nabla} \ Phi $. Si scopre che il resto delleq. (3) viene quindi fissato per coerenza.] I tensori vengono alzati e abbassati con il tensore metrico $ \ eta _ {\ mu \ nu} $.
È quindi semplice verificare che ciò implichi che nella firma
$$ \ tag {4} (+, -, -, -) \ qquad \ text {resp.} \ qquad (-, +, +, +), $$
il $ 4 $ -potenziale $ A _ {\ mu} $ con indice inferiore è
$$ \ tag {5 } A _ {\ mu} ~ = ~ (\ Phi, – {\ bf A}) \ qquad \ text {resp.} \ Qquad A _ {\ mu} ~ = ~ (- \ Phi, {\ bf A}), $$
e il campo elettrico $ {\ bf E} $ è
$$ \ tag {6} E_i ~ = ~ F_ {0i} \ qquad \ text {resp. } \ qquad E_i ~ = ~ F_ {i0}. $$
Vedi anche questo post correlato a Phys.SE.
Lascia un commento