A metrika aláírása és az elektromágneses tenzor meghatározása
On november 30, 2020 by adminElolvastam az elektromágneses mezőtenzor definícióját \ begin {equation} F ^ {\ mu \ nu} \ equiv \ begin {pmatrix} 0 & E_x & E_y & E_z \\ – E_x & 0 & B_z & -B_y \\ – E_y & -B_z & 0 & B_x \\ – E_z & B_y & -B_x & 0 \ end {pmatrix} \ tag {*} \ end {egyenlet} David Griffiths Bevezetés az elektrodinamikába vagy $ $ F _ {\ mu \ nu} \ equiv \ begin {pmatrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & B_z & -B_y \\ E_y & -B_z & 0 & B_x \\ E_z & B_y & -B_x & 0 \ end {pmatrix} $$ Sean Carroll GR előadásjegyzeteiről , amelyekről tudom, hogy következetesek $ {F _ {\ mu \ nu} = \ eta _ {\ mu \ alpha} F ^ {\ alpha \ beta} \ eta _ {\ beta \ nu}} $ ahol a $ \ eta _ {\ rho \ sigma} $ mutató van egy $ (- +++) $ aláírást.
Azonban a Wikipédián és más forrásokban (sajnálom, hogy nem emlékszem) egy $ (+ —) $ aláírást, és meghatározzák az EM tenzort a $ {(*)} $ negatívjának.
Ezek a gondolataim: A $ F ^ {\ antiszimmetria mu \ nu} = – F ^ {\ nu \ mu} $ rámutathat, hogy ez csak egy indexes betűk szerencsétlen keveréke, és hogy a források jelölésének következetessége érdekében az első kettőnek vagy a Wikipédiának meg kell változtatnia a $ \ mu \ nu $ – $ \ nu \ mu $. Ha nem ez a helyzet, úgy tűnik, hogy a tulajdonságok ugyanazok; eleinte azt hittem, hogy a belső termék kibukkan a különbség mínuszjellel, de ez természetesen nem történt meg, és ami más entitásokat illeti, amelyekkel dolgoztam, pl. g. a 4 sebességű, bár a metrikus aláírás megváltozhat, az ellentmondásos vektor mindkét esetben ugyanaz. Ismételten elolvastam, hogy a stressz-energia tenzor az aláírástól függően megváltoztatja az előjelet.
Így van a $ {F ^ {\ mu \ nu}} meghatározásában részt vevő mutató aláírása is $ vagy bármilyen tenzor? Ha igen, honnan tudhatom, milyen aláírásról van szó? vagy ha nem, akkor mi a helyzet a definíciók mínuszjel-különbségével?
Válasz
Legyen $$ \ eta _ {\ mu \ nu} = {\ rm diag} (+ 1, -1, -1, -1) \ qquad \ bar \ eta_ { \ mu \ nu} = {\ rm diag} (- 1, + 1, + 1, + 1) $$ a megfelelő Lorentz-erő törvényekkel (egységekben, ahol a tömeg egyenlő a töltéssel) $$ \ ddot x ^ \ mu = \ eta_ {\ nu \ lambda} F ^ {\ mu \ nu} \ dot x ^ \ lambda \ qquad \ ddot {\ bar x} ^ \ mu = \ bar \ eta _ {\ nu \ lambda} \ bar F ^ {\ mu \ nu} \ dot {\ bar x} ^ \ lambda $$
Mivel a $ x ^ \ mu pályák, a \ bar x ^ \ mu $ -nak meg kell egyeznie (és az összes származéka is így lesz) kiindulási feltételekkel egyenlővé tehetjük a $$ \ tag {1} \ eta _ {\ nu \ lambda} F ^ {\ mu \ nu} = \ bar \ eta _ {\ nu \ lambda} \ bar F ^ {\ mu \ kifejezéseket nu} $$ Szerződés az $ \ eta _ {\ nu \ lambda inverz $ \ eta ^ {\ lambda \ sigma} $ értékével } $ végül $$ F ^ {\ mu \ sigma} = – \ bar F ^ {\ mu \ sigma} $$ néven $$ \ bar \ eta _ {\ nu \ lambda} \ eta ^ {\ lambda \ sigma} = – \ delta_ \ nu ^ {\ sigma} $$ Ez azt jelenti, hogy az $ F ^ {\ mu \ nu} $ elektromágneses tenzor összetevőinek jelei valóban a metrikus egyezménytől függenek. Ez vonatkozik a $ F _ {\ mu \ nu} $ -ra is, míg a vegyes rangú $ F ^ \ mu {} _ \ nu $ tenzora ettől a választástól független (ami csak (1)).
Megjegyzések
- Remek! Csak egy dolog: a $ {u ^ \ lambda = \ bar u ^ \ lambda} $ értéket használtad, amely a 4-pozíció meghatározása alapján ismert, de a $ {\ dot {u} ^ \ mu = \ dot { \ bar {u}} ^ \ mu} $, (amint azt állítólag nem ' nem tudja előre, hogy $ {F ^ {\ mu \ sigma} = – \ bar F ^ { \ mu \ sigma}} $) igaz? Tehát hogyan indokolt ez? Mindig meghatározhatja az ellentmondásos vektorokat a metrikus aláírástól függetlenül?
- @PedroFigueroa: ugyanaz, mint a sebességek, a gyorsulások (valamint a helyzet bármely magasabb deriváltja) – ' ugyanazzal a pályával foglalkozunk; <
pontosítom
Válasz
Dolgozni fogunk egység $ c = 1 $ értékkel. A $ \ eta _ {\ mu \ nu} $ metrika mindkét előjeles konvenciójában a mező erősségét
$$ \ tag {1} A ^ {\ mu} ~ = ~ (\ Phi, {\ bf A}). $$
$$ \ tag {2} F _ {\ mu \ nu} ~: = ~ \ részleges _ {\ mu} A _ {\ mu} – \ részleges _ {\ nu} A _ {\ mu} , \ qquad \ mu, \ nu ~ \ ~ ~ {0,1,2,3 \}. $$
$$ \ tag {3} E_i ~: = ~ – \ részleges_i \ Phi – \ részleges_0 A ^ i, \ qquad i ~ \ ~ ~ {1,2,3 \}. $$
[A (3) összefüggés részben emlékezetes lehet arra, hogy az elektrosztatikában azt követelik, hogy $ {\ bf E} ~ = ~ – {\ bf \ nabla} \ Phi $. Kiderült, hogy a többi egyenlőség. (3) ekkor következetességgel rögzül.] A tenzorokat a $ \ eta _ {\ mu \ nu} $ metrikus tenzorral emeljük fel és engedjük le.
Ezután egyszerű ellenőrizni, hogy ez azt jelenti-e az aláírásban
$$ \ tag {4} (+, -, -, -) \ qquad \ text {resp.} \ qquad (-, +, +, +), $$
Az alacsonyabb indexű $ 4 $ -potenciális $ A _ {\ mu} $
$$ \ tag {5 } A _ {\ mu} ~ = ~ (\ Phi, – {\ bf A}) \ qquad \ text {ill.} \ Qquad A _ {\ mu} ~ = ~ (- \ Phi, {\ bf A}), $$
és a $ {\ bf E} $ elektromos mező
$$ \ tag {6} E_i ~ = ~ F_ {0i} \ qquad \ text {ill. } \ qquad E_i ~ = ~ F_ {i0}. $$
Lásd még ezt a kapcsolódó Phys.SE bejegyzést.
Vélemény, hozzászólás?