La signature de la métrique et la définition du tenseur électromagnétique
On novembre 30, 2020 by admin Jai lu la définition du tenseur de champ électromagnétique pour être \ begin {équation} F ^ {\ mu \ nu} \ equiv \ begin {pmatrix} 0 & E_x & E_y & E_z \\ – E_x & 0 & B_z & -B_y \\ – E_y & -B_z & 0 & B_x \\ – E_z & B_y & -B_x & 0 \ end {pmatrix} \ tag {*} \ end {equation} dans Introduction à lélectrodynamique par David Griffiths, ou sous la forme $$ F _ {\ mu \ nu} \ equiv \ begin {pmatrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & B_z & -B_y \\ E_y & -B_z & 0
B_x \\ E_z & B_y & -B_x & 0 \ end {pmatrix} $$ sur les Notes de cours sur GR par Sean Carroll, que je sais être cohérent via $ {F _ {\ mu \ nu} = \ eta _ {\ mu \ alpha} F ^ {\ alpha \ beta} \ eta _ {\ beta \ nu}} $ où la métrique $ \ eta _ {\ rho \ sigma} $ a une signature $ (- +++) $.
Cependant sur Wikipédia et dautres sources (désolé je ne me souviens pas) quils utilisent une signature $ (+ —) $ et ils définissent le tenseur EM comme étant le négatif de $ {(*)} $.
Voici mes réflexions à ce sujet: Lantisymétrie $ F ^ {\ mu \ nu} = – F ^ {\ nu \ mu} $ peut faire remarquer que c « est juste un mélange malheureux de lettres d » index et que pour que la notation des sources soit cohérente, les deux premiers ou Wikipedia devraient changer $ \ mu \ nu $ à $ \ nu \ mu $. Sinon, les propriétés semblent être les mêmes; au début, je pensais que le produit intérieur ferait apparaître un signe moins de différence, mais cela ne sest bien sûr pas produit, et comme pour les autres entités avec lesquelles jai travaillé, e. g. la 4-vitesse, bien que la signature métrique puisse changer, le vecteur contravariant est le même dans les deux cas. Cependant, encore une fois, jai lu que le tenseur dénergie de contrainte change de signe en fonction de la signature.
Il en va de même pour la signature de la métrique impliquée dans la définition de $ {F ^ {\ mu \ nu}} $ ou quelque tenseur que ce soit? Si oui, comment puis-je savoir quelle signature est impliquée? ou sinon, quel est le problème avec la différence du signe moins sur les définitions?
Réponse
Soit $$ \ eta _ {\ mu \ nu} = {\ rm diag} (+ 1, -1, -1, -1) \ qquad \ bar \ eta_ { \ mu \ nu} = {\ rm diag} (- 1, + 1, + 1, + 1) $$ avec les lois de force de Lorentz correspondantes (en unités où la masse est égale à la charge) $$ \ ddot x ^ \ mu = \ eta_ {\ nu \ lambda} F ^ {\ mu \ nu} \ dot x ^ \ lambda \ qquad \ ddot {\ bar x} ^ \ mu = \ bar \ eta _ {\ nu \ lambda} \ bar F ^ {\ mu \ nu} \ dot {\ bar x} ^ \ lambda $$
Comme les trajectoires $ x ^ \ mu, \ bar x ^ \ mu $ devraient concorder (de même que toutes ses dérivées) pour tous conditions initiales, on peut assimiler les termes $$ \ tag {1} \ eta _ {\ nu \ lambda} F ^ {\ mu \ nu} = \ bar \ eta _ {\ nu \ lambda} \ bar F ^ {\ mu \ nu} $$ Contracter avec linverse $ \ eta ^ {\ lambda \ sigma} $ de $ \ eta _ {\ nu \ lambda } $ donne finalement $$ F ^ {\ mu \ sigma} = – \ bar F ^ {\ mu \ sigma} $$ comme $$ \ bar \ eta _ {\ nu \ lambda} \ eta ^ {\ lambda \ sigma} = – \ delta_ \ nu ^ {\ sigma} $$ Cela signifie que les signes des composantes du tenseur électromagnétique $ F ^ {\ mu \ nu} $ dépendent en effet de la convention métrique. Ceci sapplique également à $ F _ {\ mu \ nu} $, alors que le tenseur de rang mixte $ F ^ \ mu {} _ \ nu $ est indépendant de ce choix (qui est juste (1)).
Commentaires
- Super! Juste une chose, vous avez utilisé $ {u ^ \ lambda = \ bar u ^ \ lambda} $ qui est connu par définition de la position 4, mais vous avez également utilisé $ {\ dot {u} ^ \ mu = \ dot { \ bar {u}} ^ \ mu} $, (comme on ne sait pas ' à lavance que $ {F ^ {\ mu \ sigma} = – \ bar F ^ { \ mu \ sigma}} $) nest-ce pas? Alors, comment est-ce justifié? Peut-on toujours définir les vecteurs contravariants comme étant les mêmes quelle que soit la signature de la métrique?
- @PedroFigueroa: comme les vitesses, les accélérations (ainsi que toutes les dérivées supérieures de position) daccord nous ' traitons la même trajectoire; Je ' clarifierai
Réponse
Nous allons travailler dans unité avec $ c = 1 $. Dans les deux conventions de signe de la métrique $ \ eta _ {\ mu \ nu} $, nous définissons lintensité du champ comme
$$ \ tag {1} A ^ {\ mu} ~ = ~ (\ Phi, {\ bf A}). $$
$$ \ tag {2} F _ {\ mu \ nu} ~: = ~ \ partial _ {\ mu} A _ {\ mu} – \ partial _ {\ nu} A _ {\ mu} , \ qquad \ mu, \ nu ~ \ dans ~ \ {0,1,2,3 \}. $$
$$ \ tag {3} E_i ~: = ~ – \ partial_i \ Phi – \ partial_0 A ^ i, \ qquad i ~ \ in ~ \ {1,2,3 \}. $$
[La relation (3) peut être partiellement rappelée par le fait quen électrostatique, on exige que $ {\ bf E} ~ = ~ – {\ bf \ nabla} \ Phi $. Il savère que le reste de leq. (3) est alors fixé par cohérence.] Les tenseurs sont élevés et abaissés avec le tenseur métrique $ \ eta _ {\ mu \ nu} $.
Il est alors simple de vérifier que cela implique que dans la signature
$$ \ tag {4} (+, -, -, -) \ qquad \ text {resp.} \ qquad (-, +, +, +), $$
le potentiel $ 4 $ $ A _ {\ mu} $ avec un index inférieur est
$$ \ tag {5 } A _ {\ mu} ~ = ~ (\ Phi, – {\ bf A}) \ qquad \ text {resp.} \ Qquad A _ {\ mu} ~ = ~ (- \ Phi, {\ bf A}), $$
et le champ électrique $ {\ bf E} $ est
$$ \ tag {6} E_i ~ = ~ F_ {0i} \ qquad \ text {resp. } \ qquad E_i ~ = ~ F_ {i0}. $$
Voir aussi ce article relatif à Phys.SE.
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