Podpis metriky a definice elektromagnetického tenzoru
On 30 listopadu, 2020 by adminPřečetl jsem definici tenzoru elektromagnetického pole, která má být \ begin {rovnice} F ^ {\ mu \ nu} \ equiv \ begin {pmatrix} 0 & E_x & E_y & E_z \\ – E_x & 0 & B_z & -B_y \\ – E_y & -B_z & 0 & B_x \\ – E_z & B_y & -B_x & 0 \ end {pmatrix} \ tag {*} \ end {rovnice} v Úvod do elektrodynamiky od Davida Griffithse, nebo jako $$ F _ {\ mu \ nu} \ equiv \ begin {pmatrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & B_z & -B_y \\ E_y & -B_z & 0 & B_x \\ E_z & B_y & -B_x & 0 \ end {pmatrix} $$ na Poznámky k přednášce o GR od Seana Carrolla, o kterém vím, že je konzistentní prostřednictvím $ {F _ {\ mu \ nu} = \ eta _ {\ mu \ alpha} F ^ {\ alpha \ beta} \ eta _ {\ beta \ nu}} $, kde má metrika $ \ eta _ {\ rho \ sigma} $ podpis $ (- +++) $.
Nicméně na Wikipedii a dalších zdrojích (bohužel si to nepamatuji) používají podpis $ (+ —) $ a definují tenzor EM jako záporný $ {(*)} $.
To jsou moje myšlenky o tom: Antisymetrie $ F ^ {\ mu \ nu} = – F ^ {\ nu \ mu} $ může poukazovat na to, že je to jen nešťastná kombinace indexových písmen a že pro konzistentní zápis zdrojů by měl $ \ mu změnit buď první dva, nebo Wikipedia \ nu $ až $ \ nu \ mu $. Pokud tomu tak není, vlastnosti se zdají být stejné; zpočátku jsem si myslel, že vnitřní produkt vyskočí mínusem rozdílu, ale to se samozřejmě nestalo, a pokud jde o jiné entity, se kterými jsem pracoval, např. G. 4-rychlost, ačkoli metrický podpis se může změnit, kontravariantní vektor je v obou případech stejný. Znovu jsem si ale přečetl tenzor stresové energie, který mění znaménko v závislosti na podpisu.
Stejně tak podpis metriky zahrnuté v definici $ {F ^ {\ mu \ nu}} $ nebo jakýkoli tenzor? Pokud ano, jak mohu zjistit, o jaký podpis jde? nebo pokud ne, co je to s rozdílem znaménka mínus v definicích?
Odpověď
Nechť $$ \ eta _ {\ mu \ nu} = {\ rm diag} (+ 1, -1, -1, -1) \ qquad \ bar \ eta_ { \ mu \ nu} = {\ rm diag} (- 1, + 1, + 1, + 1) $$ s odpovídajícími Lorentzovými silovými zákony (v jednotkách, kde se hmotnost rovná náboji) $$ \ ddot x ^ \ mu = \ eta_ {\ nu \ lambda} F ^ {\ mu \ nu} \ dot x ^ \ lambda \ qquad \ ddot {\ bar x} ^ \ mu = \ bar \ eta _ {\ nu \ lambda} \ bar F ^ {\ mu \ nu} \ dot {\ bar x} ^ \ lambda $$
Protože trajektorie $ x ^ \ mu, \ bar x ^ \ mu $ by měly souhlasit (a stejně tak i všechny jeho deriváty) pro všechny počáteční podmínky, můžeme rovnat pojmy $$ \ tag {1} \ eta _ {\ nu \ lambda} F ^ {\ mu \ nu} = \ bar \ eta _ {\ nu \ lambda} \ bar F ^ {\ mu \ nu} $$ Smluvní vztah s inverzní $ \ eta ^ {\ lambda \ sigma} $ z $ \ eta _ {\ nu \ lambda } $ konečně získá $$ F ^ {\ mu \ sigma} = – \ bar F ^ {\ mu \ sigma} $$ jako $$ \ bar \ eta _ {\ nu \ lambda} \ eta ^ {\ lambda \ sigma} = – \ delta_ \ nu ^ {\ sigma} $$ To znamená, že znaky komponent elektromagnetického tenzoru $ F ^ {\ mu \ nu} $ skutečně závisí na metrické konvenci. To platí také pro $ F _ {\ mu \ nu} $, zatímco tenzor smíšené pozice $ F ^ \ mu {} _ \ nu $ nezávisí na této volbě (což je právě (1)).
Komentáře
- Skvělé! Jen jedna věc, použili jste $ {u ^ \ lambda = \ bar u ^ \ lambda} $, které je známé z definice 4-pozice, ale také jste použili $ {\ dot {u} ^ \ mu = \ dot { \ bar {u}} ^ \ mu} $, (jak údajně ' předem neví, že $ {F ^ {\ mu \ sigma} = – \ bar F ^ { \ mu \ sigma}} $) správně? Jak je to oprávněné? Může člověk vždy definovat kontravariantní vektory, aby byly stejné bez ohledu na metrický podpis?
- @PedroFigueroa: stejné jako rychlosti, zrychlení (stejně jako jakékoli vyšší deriváty polohy) souhlasí – ' řešíme stejnou trajektorii; ' objasním
odpověď
Budeme pracovat v jednotka s $ c = 1 $. V obou konvencích znaménka pro metriku $ \ eta _ {\ mu \ nu} $ definujeme sílu pole jako
$$ \ tag {1} A ^ {\ mu} ~ = ~ (\ Phi, {\ bf A}). $$
$$ \ tag {2} F _ {\ mu \ nu} ~: = ~ \ částečný _ {\ mu} A _ {\ mu} – \ částečný _ {\ nu} A _ {\ mu} , \ qquad \ mu, \ nu ~ \ in ~ \ {0,1,2,3 \}. $$
$$ \ tag {3} E_i ~: = ~ – \ částečné_i \ Phi – \ částečné_0 A ^ i, \ qquad i ~ \ v ~ \ {1,2,3 \}. $$
[Vztah (3) si můžeme částečně pamatovat tím, že v elektrostatice se vyžaduje $ {\ bf E} ~ = ~ – {\ bf \ nabla} \ Phi $. Ukazuje se, že zbytek ekv. (3) je poté opraven konzistencí.] Tenzory jsou zvedány a spouštěny metrickým tenzorem $ \ eta _ {\ mu \ nu} $.
Potom je snadné zkontrolovat, zda to znamená, že v podpisu
$$ \ tag {4} (+, -, -, -) \ qquad \ text {resp.} \ qquad (-, +, +, +), $$
$ 4 $ -potenciál $ A _ {\ mu} $ s nižším indexem je
$$ \ tag {5 } A _ {\ mu} ~ = ~ (\ Phi, – {\ bf A}) \ qquad \ text {resp.} \ Qquad A _ {\ mu} ~ = ~ (- \ Phi, {\ bf A}), $$
a elektrické pole $ {\ bf E} $ je
$$ \ tag {6} E_i ~ = ~ F_ {0i} \ qquad \ text {resp. } \ qquad E_i ~ = ~ F_ {i0}. $$
Viz také tento související příspěvek Phys.SE.
Napsat komentář