メトリックの署名と電磁テンソルの定義
On 11月 30, 2020 by admin電磁界テンソルの定義を\ begin {equation} F ^と読みました。 {\ mu \ nu} \ equiv \ begin {pmatrix} 0 & E_x & E_y & E_z \\-E_x & 0 & B_z & -B_y \\- E_y & -B_z & 0 & B_x \\-E_z & B_y & -B_x & 0 \ end {pmatrix} \ tag {*} \ end {equation} DavidGriffithsによる Introduction to Electrodynamics 、または$$ F _ {\ mu \ nu} \ equiv \ begin {pmatrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & B_z & -B_y \\ E_y & -B_z & 0 & B_x \\ E_z & B_y & -B_x & 0 \ end {pmatrix} $$ on Lecture Notes on GR by Sean Carroll、これは私が$ {F _ {\ mu \ nu} = \ eta _ {\ mu \ alpha} F ^ {\ alpha \ beta} \ eta _ {\ beta \ nu}} $ここで、メトリック$ \ eta _ {\ rho \ sigma} $は$(-+++)$署名。
ただし、Wikipediaのおよびその他のソース(申し訳ありませんが、覚えていません)は使用しています$(+ —)$シグネチャであり、EMテンソルを$ {(*)} $の負数として定義します。
これについての私の考えは次のとおりです。反対称$ F ^ {\ mu \ nu} = -F ^ {\ nu \ mu} $は、これは単にインデックス文字の不幸な組み合わせであり、ソース表記が一貫しているためには、最初の2つまたはWikipediaのいずれかが$ \ muを変更する必要があることを指摘する場合があります。 \ nu $から$ \ nu \ mu $。そうでない場合、プロパティは同じように見えます。最初は、内積が差のマイナス記号を出すと思いましたが、もちろんそれは起こりませんでした。私が協力した他のエンティティについては、e。 g。 4元速度、符号数は変更できますが、反変ベクトルはどちらの場合も同じです。ただし、繰り返しになりますが、ストレスエネルギーテンソルは署名に応じて符号が変化することを読みました。
$ {F ^ {\ mu \ nu}}の定義に含まれるメトリックの署名も同様です。 $または任意のテンソル?もしそうなら、どの署名が関係しているかをどうやって知ることができますか?そうでなければ、定義のマイナス記号の違いの問題は何ですか?
答え
Let $$ \ eta _ {\ mu \ nu} = {\ rm diag}(+ 1、-1、-1、-1)\ qquad \ bar \ eta_ { \ mu \ nu} = {\ rm diag}(-1、+ 1、+ 1、+ 1)$$と対応するローレンツ力の法則(質量が電荷に等しい単位)$$ \ ddot x ^ \ mu = \ eta_ {\ nu \ lambda} F ^ {\ mu \ nu} \ dot x ^ \ lambda \ qquad \ ddot {\ bar x} ^ \ mu = \ bar \ eta _ {\ nu \ lambda} \ bar F ^ {\ mu \ nu} \ dot {\ bar x} ^ \ lambda $$
軌道$ x ^ \ muとして、\ bar x ^ \ mu $はすべてについて一致する必要があります(すべての派生物も一致するはずです)。初期条件では、$$ \ tag {1} \ eta _ {\ nu \ lambda} F ^ {\ mu \ nu} = \ bar \ eta _ {\ nu \ lambda} \ bar F ^ {\ mu \という用語を同一視できます。 nu} $$ $ \ eta _ {\ nu \ lambdaの逆$ \ eta ^ {\ lambda \ sigma} $との契約} $は最終的に$$ F ^ {\ mu \ sigma} =-\ bar F ^ {\ mu \ sigma} $$ as $$ \ bar \ eta _ {\ nu \ lambda} \ eta ^ {\ lambda \ sigma} =-\ delta_ \ nu ^ {\ sigma} $$これは、電磁テンソル$ F ^ {\ mu \ nu} $の成分の符号が実際に計量規則に依存することを意味します。これは$ F _ {\ mu \ nu} $にも当てはまりますが、混合ランク$ F ^ \ mu {} _ \ nu $のテンソルはこの選択に依存しません(これは(1)だけです)。
コメント
- すばらしい! 1つだけ、4位置の定義で知られている$ {u ^ \ lambda = \ bar u ^ \ lambda} $を使用しましたが、$ {\ dot {u} ^ \ mu = \ dot {も使用しました。 \ bar {u}} ^ \ mu} $、(おそらく' $ {F ^ {\ mu \ sigma} =-\ bar F ^ { \ mu \ sigma}} $)そうですか?では、これはどのように正当化されますか?メトリック署名が何であれ、常に定義する反変ベクトルを同じにすることはできますか?
- @PedroFigueroa:速度と同じ、加速度(および位置のより高い導関数)は同意します- '同じ軌道を扱っています。 '明確にします
回答
$ c = 1 $のユニット。メトリック$ \ eta _ {\ mu \ nu} $の両方の符号規則で、電界強度を次のように定義します
$$ \ tag {1} A ^ {\ mu}〜=〜(\ Phi、 {\ bf A})。 $$
$$ \ tag {2} F _ {\ mu \ nu}〜:=〜\ partial _ {\ mu} A _ {\ mu}-\ partial _ {\ nu} A _ {\ mu} 、\ qquad \ mu、\ nu〜 \ in〜 \ {0,1,2,3 \}。 $$
$$ \ tag {3} E_i〜:= 〜- \ partial_i \ Phi- \ partial_0 A ^ i、\ qquad i〜 \ in〜 \ {1,2,3 \}。 $$
[関係(3)は、静電気学では$ {\ bf E}〜=〜-{\ bf \ nabla} \ Phi $を要求するという事実によって部分的に思い出すことができます。式の残りの部分が判明しました。 (3)は、一貫性によって修正されます。]テンソルは、計量テンソル$ \ eta _ {\ mu \ nu} $で上下します。
次に、これが署名にあることを意味することを確認するのは簡単です
$$ \ tag {4}(+、-、-、-)\ qquad \ text {resp。} \ qquad(-、+、+、+)、$$
$ 4 $-インデックスの低い潜在的な$ A _ {\ mu} $は
$$ \ tag {5 } A _ {\ mu}〜=〜(\ Phi、-{\ bf A})\ qquad \ text {resp。} \ qquad A _ {\ mu}〜=〜(-\ Phi、{\ bf A})、 $$
および電界$ {\ bf E} $は
$$ \ tag {6} E_i〜 = 〜F_ {0i} \ qquad \ text {resp。 } \ qquad E_i〜 = 〜F_ {i0}。 $$
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