A assinatura da métrica e a definição do tensor eletromagnético
On Novembro 30, 2020 by adminEu li a definição do tensor de campo eletromagnético para ser \ begin {equation} F ^ {\ mu \ nu} \ equiv \ begin {pmatrix} 0 & E_x & E_y & E_z \\ – E_x & 0 & B_z & -B_y \\ – E_y & -B_z & 0 & B_x \\ – E_z & B_y & -B_x & 0 \ end {pmatrix} \ tag {*} \ end {equation} em Introdução à Eletrodinâmica por David Griffiths, ou como $$ F _ {\ mu \ nu} \ equiv \ begin {pmatrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & B_z & -B_y \\ E_y & -B_z & 0 & B_x \\ E_z & B_y & -B_x & 0 \ end {pmatrix} $$ no Notas da aula sobre GR por Sean Carroll, que sei ser consistente por $ {F _ {\ mu \ nu} = \ eta _ {\ mu \ alpha} F ^ {\ alpha \ beta} \ eta _ {\ beta \ nu}} $ onde a métrica $ \ eta _ {\ rho \ sigma} $ tem uma assinatura $ (- +++) $.
No entanto, na Wikipedia e outras fontes (desculpe, não consigo me lembrar), eles usam uma assinatura $ (+ —) $ e definem o tensor EM como sendo o negativo de $ {(*)} $.
Estas são minhas idéias sobre isso: A antissimetria $ F ^ {\ mu \ nu} = – F ^ {\ nu \ mu} $ pode apontar que é apenas uma mistura infeliz de letras de índice e que para a notação da fonte ser consistente, as duas primeiras ou a Wikipedia devem mudar $ \ mu \ nu $ a $ \ nu \ mu $. Caso contrário, as propriedades parecem ser as mesmas; a princípio pensei que o produto interno sairia com um sinal negativo de diferença, mas é claro que isso não aconteceu, e quanto a outras entidades com as quais trabalhei, por exemplo. g. a velocidade 4, embora a assinatura métrica possa mudar, o vetor contravariante é o mesmo em ambos os casos. No entanto, novamente, eu li que o tensor tensão-energia muda de sinal dependendo da assinatura.
Da mesma forma, a assinatura da métrica está envolvida na definição de $ {F ^ {\ mu \ nu}} $ ou qualquer tensor qualquer? Em caso afirmativo, como posso saber qual assinatura está envolvida? ou se não, qual é o problema com a diferença de sinal de menos nas definições?
Resposta
Vamos $$ \ eta _ {\ mu \ nu} = {\ rm diag} (+ 1, -1, -1, -1) \ qquad \ bar \ eta_ { \ mu \ nu} = {\ rm diag} (- 1, + 1, + 1, + 1) $$ com as leis de força de Lorentz correspondentes (em unidades onde a massa é igual a carga) $$ \ ddot x ^ \ mu = \ eta_ {\ nu \ lambda} F ^ {\ mu \ nu} \ dot x ^ \ lambda \ qquad \ ddot {\ bar x} ^ \ mu = \ bar \ eta _ {\ nu \ lambda} \ bar F ^ {\ mu \ nu} \ dot {\ bar x} ^ \ lambda $$
Como as trajetórias $ x ^ \ mu, \ bar x ^ \ mu $ devem concordar (e assim serão todas as suas derivadas) para todos condições iniciais, podemos igualar os termos $$ \ tag {1} \ eta _ {\ nu \ lambda} F ^ {\ mu \ nu} = \ bar \ eta _ {\ nu \ lambda} \ bar F ^ {\ mu \ nu} $$ Contraindo com o inverso $ \ eta ^ {\ lambda \ sigma} $ de $ \ eta _ {\ nu \ lambda } $ finalmente produz $$ F ^ {\ mu \ sigma} = – \ bar F ^ {\ mu \ sigma} $$ como $$ \ bar \ eta _ {\ nu \ lambda} \ eta ^ {\ lambda \ sigma} = – \ delta_ \ nu ^ {\ sigma} $$ Isso significa que os sinais dos componentes do tensor eletromagnético $ F ^ {\ mu \ nu} $ realmente dependem da convenção métrica. Isso também se aplica a $ F _ {\ mu \ nu} $, enquanto o tensor de classificação mista $ F ^ \ mu {} _ \ nu $ é independente desta escolha (que é apenas (1)).
Comentários
- Ótimo! Só uma coisa, você usou $ {u ^ \ lambda = \ bar u ^ \ lambda} $ que é conhecido por definição da posição 4, mas também usou $ {\ dot {u} ^ \ mu = \ dot { \ bar {u}} ^ \ mu} $, (como supostamente não ' sabe de antemão que $ {F ^ {\ mu \ sigma} = – \ bar F ^ { \ mu \ sigma}} $) certo? Então, como isso é justificado? Pode-se sempre definir os vetores contravariantes como os mesmos, qualquer que seja a assinatura métrica?
- @PedroFigueroa: o mesmo que velocidades, acelerações (bem como quaisquer derivadas superiores de posição) concordam – estamos ' lidando com a mesma trajetória; Eu ' irei esclarecer
Resposta
Vamos trabalhar em unidade com $ c = 1 $. Em ambas as convenções de sinal para a métrica $ \ eta _ {\ mu \ nu} $, definimos a intensidade do campo como
$$ \ tag {1} A ^ {\ mu} ~ = ~ (\ Phi, {\ bf A}). $$
$$ \ tag {2} F _ {\ mu \ nu} ~: = ~ \ parcial _ {\ mu} A _ {\ mu} – \ parcial _ {\ nu} A _ {\ mu} , \ qquad \ mu, \ nu ~ \ in ~ \ {0,1,2,3 \}. $$
$$ \ tag {3} E_i ~: = ~ – \ partial_i \ Phi – \ partial_0 A ^ i, \ qquad i ~ \ in ~ \ {1,2,3 \}. $$
[A relação (3) pode ser parcialmente lembrada pelo fato de que na eletrostática, exige-se que $ {\ bf E} ~ = ~ – {\ bf \ nabla} \ Phi $. Acontece que o resto da eq. (3) é então fixado por consistência.] Os tensores são aumentados e diminuídos com o tensor métrico $ \ eta _ {\ mu \ nu} $.
É então simples verificar que isso implica que na assinatura
$$ \ tag {4} (+, -, -, -) \ qquad \ text {resp.} \ qquad (-, +, +, +), $$
o $ 4 $ -potencial $ A _ {\ mu} $ com índice inferior é
$$ \ tag {5 } A _ {\ mu} ~ = ~ (\ Phi, – {\ bf A}) \ qquad \ text {resp.} \ Qquad A _ {\ mu} ~ = ~ (- \ Phi, {\ bf A}), $$
e o campo elétrico $ {\ bf E} $ é
$$ \ tag {6} E_i ~ = ~ F_ {0i} \ qquad \ text {resp. } \ qquad E_i ~ = ~ F_ {i0}. $$
Veja também esta postagem Phys.SE relacionada.
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