메트릭의 서명과 전자기 텐서의 정의
On 11월 30, 2020 by admin나는 전자기장 텐서의 정의를 \ begin {equation} F ^로 읽었습니다. {\ mu \ nu} \ equiv \ begin {pmatrix} 0 & E_x & E_y & E_z \\-E_x & 0 & B_z & -B_y \\- E_y & -B_z & 0 & B_x \\-E_z & B_y & -B_x & 0 \ end {pmatrix} \ tag {*} \ end {equation} David Griffiths의 Introduction to Electrodynamics 또는 $$ F _ {\ mu \ nu} \ equiv \ begin {pmatrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & B_z & -B_y \\ E_y & -B_z & 0 & B_x \\ E_z & B_y & -B_x & Sean Carroll의 GR에 대한 강의 노트 에있는 div> 0 \ end {pmatrix} $$, $ {F _ {\ mu \ nu} = \ eta _ {\ mu \ alpha} F ^ {\ alpha \ beta} \ eta _ {\ beta \ nu}} $ 여기서 메트릭 $ \ eta _ {\ rho \ sigma} $에는 $ (-+++) $ 서명.
하지만 Wikipedia 및 기타 출처 (기억할 수 없음)에서는 $ (+ —) $ 시그니처이고 EM 텐서를 $ {(*)} $의 음수로 정의합니다.
다음은 이에 대한 제 생각입니다. 반대 칭 $ F ^ {\ mu \ nu} =-F ^ {\ nu \ mu} $는 “불행한 색인 문자의 혼합 일 뿐이며 소스 표기법이 일관되게하려면 처음 두 개 또는 Wikipedia가 $ \ mu를 변경해야한다는 점을 지적 할 수 있습니다. \ nu $ ~ $ \ nu \ mu $. 그렇지 않은 경우 속성은 동일하게 보입니다. 처음에 나는 내적이 차이의 마이너스 부호를 튀어 나올 것이라고 생각했지만, 당연히 일어나지 않았고, 내가 함께 일한 다른 엔티티들처럼 e. 지. 4 속도, 메트릭 시그니처가 변경 될 수 있지만 반 변성 벡터는 두 경우 모두 동일합니다. 그러나 나는 스트레스 에너지 텐서가 서명에 따라 부호를 변경한다는 것을 읽었습니다.
$ {F ^ {\ mu \ nu}}의 정의와 관련된 메트릭의 서명도 마찬가지입니다. $ 또는 임의의 텐서가 있습니까? 그렇다면 어떤 서명이 관련되어 있는지 어떻게 알 수 있습니까? 그렇지 않은 경우 정의에서 마이너스 기호 차이가있는 문제는 무엇입니까?
답변
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Let $$ \ eta _ {\ mu \ nu} = {\ rm diag} (+ 1, -1, -1, -1) \ qquad \ bar \ eta_ { \ mu \ nu} = {\ rm diag} (-1, + 1, + 1, + 1) $$에 해당하는 Lorentz 힘 법칙 (질량이 전하와 같은 단위) $$ \ ddot x ^ \ mu = \ eta_ {\ nu \ lambda} F ^ {\ mu \ nu} \ dot x ^ \ lambda \ qquad \ ddot {\ bar x} ^ \ mu = \ bar \ eta _ {\ nu \ lambda} \ bar F ^ {\ mu \ nu} \ dot {\ bar x} ^ \ lambda $$
궤도 $ x ^ \ mu이므로 \ bar x ^ \ mu $는 모두에 대해 동의해야합니다 (그리고 모든 파생물도 마찬가지). 초기 조건은 $$ \ tag {1} \ eta _ {\ nu \ lambda} F ^ {\ mu \ nu} = \ bar \ eta _ {\ nu \ lambda} \ bar F ^ {\ mu \ nu} $$ $ \ eta _ {\ nu \ lambda의 역 $ \ eta ^ {\ lambda \ sigma} $ 계약 } $는 마침내 $$ F ^ {\ mu \ sigma} =-\ bar F ^ {\ mu \ sigma} $$를 $$ \ bar \ eta _ {\ nu \ lambda} \ eta ^ {\ lambda \ sigma}로 산출합니다. =-\ delta_ \ nu ^ {\ sigma} $$ 이것은 전자기 텐서 $ F ^ {\ mu \ nu} $의 구성 요소의 부호가 실제로 미터법 규칙에 의존한다는 것을 의미합니다. 이는 $ F _ {\ mu \ nu} $에도 적용되는 반면, 혼합 순위 $ F ^ \ mu {} _ \ nu $의 텐서는이 선택에 독립적입니다 (단지 (1)).
댓글
- 좋습니다! 한 가지, 당신은 4 위치의 정의로 알려진 $ {u ^ \ lambda = \ bar u ^ \ lambda} $를 사용했지만 $ {\ dot {u} ^ \ mu = \ dot { \ bar {u}} ^ \ mu} $, (아마도 ' $ {F ^ {\ mu \ sigma} =-\ bar F ^ { \ mu \ sigma}} $) 맞죠? 그렇다면 이것이 어떻게 정당화됩니까? 메트릭 시그니처가 무엇이든 항상 반 변성 벡터가 동일하도록 정의 할 수 있습니까?
- @PedroFigueroa : 속도와 동일, 가속도 (위치의 더 높은 파생물)는 동의합니다. 우리는 ' 같은 궤도를 다루고 있습니다. ' 명확하게
답변
$ c = 1 $ 인 단위. 메트릭 $ \ eta _ {\ mu \ nu} $에 대한 두 기호 규칙에서 필드 강도를
$$ \ tag {1} A ^ {\ mu} ~ = ~ (\ Phi, {\ bf A}). $$
$$ \ tag {2} F _ {\ mu \ nu} ~ : = ~ \ partial _ {\ mu} A _ {\ mu}-\ partial _ {\ nu} A _ {\ mu} , \ qquad \ mu, \ nu ~ \ in ~ \ {0,1,2,3 \} $$
$$ \ tag {3} E_i ~ : = ~-\ partial_i \ Phi-\ partial_0 A ^ i, \ qquad i ~ \ in ~ \ {1,2,3 \}. $$
[관계식 (3)은 정전기 학에서 $ {\ bf E} ~ = ~-{\ bf \ nabla} \ Phi $를 요구한다는 사실에 의해 부분적으로 기억 될 수 있습니다. 나머지 eq. (3) 그런 다음 일관성으로 고정됩니다.] 텐서는 메트릭 텐서 $ \ eta _ {\ mu \ nu} $를 사용하여 올리고 내립니다.
그런 다음 이것이 서명에서이를 의미하는지 확인하는 것은 간단합니다
$$ \ tag {4} (+,-,-,-) \ qquad \ text {resp.} \ qquad (-, +, +, +), $$
지수가 더 낮은 $ 4 $ 잠재 $ A _ {\ mu} $는
$$ \ tag {5 } A _ {\ mu} ~ = ~ (\ Phi,-{\ bf A}) \ qquad \ text {resp.} \ qquad A _ {\ mu} ~ = ~ (-\ Phi, {\ bf A}), $$
그리고 전기장 $ {\ bf E} $는
$$ \ tag {6} E_i ~ = ~ F_ {0i} \ qquad \ text {resp. } \ qquad E_i ~ = ~ F_ {i0}. $$
이 관련 Phys.SE 게시물을 참조하세요.
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