Metrikkens signatur og definitionen af den elektromagnetiske tensor
On november 30, 2020 by adminJeg har læst definitionen af det elektromagnetiske felt tensor, der skal være \ begin {ligning} F ^ {\ mu \ nu} \ equiv \ begin {pmatrix} 0 & E_x & E_y & E_z \\ – E_x & 0 & B_z & -B_y \\ – E_y & -B_z & 0 & B_x \\ – E_z & B_y & -B_x & 0 \ end {pmatrix} \ tag {*} \ end {ligning} i Introduktion til elektrodynamik af David Griffiths, eller som $$ F _ {\ mu \ nu} \ equiv \ begin {pmatrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & B_z & -B_y \\ E_y & -B_z & 0 & B_x \\ E_z & B_y & -B_x & 0 \ end {pmatrix} $$ på Forelæsningsnotater om GR af Sean Carroll, som jeg ved er konsekvent via $ {F _ {\ mu \ nu} = \ eta _ {\ mu \ alpha} F ^ {\ alpha \ beta} \ eta _ {\ beta \ nu}} $ hvor metricen $ \ eta _ {\ rho \ sigma} $ har en $ (- +++) $ signatur.
Dog på Wikipedia og andre kilder (undskyld jeg kan ikke huske) de bruger en $ (+ —) $ signatur, og de definerer EM-tensoren til at være den negative af $ {(*)} $.
Dette er mine tanker om det: Antisymmetrien $ F ^ {\ mu \ nu} = – F ^ {\ nu \ mu} $ kan påpege, at det bare er en uheldig blanding af indeksbogstaver, og at for at kildens notation skal være konsistent, skal de to første eller Wikipedia ændre $ \ mu \ nu $ til $ \ nu \ mu $. Hvis ikke tilfældet, synes egenskaberne at være de samme; først troede jeg, at det indre produkt ville fremkomme med et minus tegn på forskel, men det skete naturligvis ikke, og som for andre enheder, jeg har arbejdet med, f.eks. g. 4-hastigheden, selvom den metriske signatur kan ændre sig, er den kontravariant vektor den samme i begge tilfælde. Imidlertid har jeg igen læst, at stressenergitensoren ændrer tegn afhængigt af signaturen.
Så er signaturen for metricen involveret i definitionen af $ {F ^ {\ mu \ nu}} $ eller en hvilken som helst tensor? I bekræftende fald, hvordan kan jeg vide, hvilken signatur der er involveret? eller hvis ikke, hvad er der tilfældet med minustegnforskellen på definitionerne?
Svar
Lad $$ \ eta _ {\ mu \ nu} = {\ rm diag} (+ 1, -1, -1, -1) \ qquad \ bar \ eta_ { \ mu \ nu} = {\ rm diag} (- 1, + 1, + 1, + 1) $$ med tilsvarende Lorentz-kraftlove (i enheder, hvor massen er lig med ladning) $$ \ ddot x ^ \ mu = \ eta_ {\ nu \ lambda} F ^ {\ mu \ nu} \ dot x ^ \ lambda \ qquad \ ddot {\ bar x} ^ \ mu = \ bar \ eta _ {\ nu \ lambda} \ bar F ^ {\ mu \ nu} \ dot {\ bar x} ^ \ lambda $$
Som banerne $ x ^ \ mu, \ bar x ^ \ mu $ skal være enige (og det samme gælder alle dets derivater) for alle indledende betingelser, vi kan sidestille vilkårene $$ \ tag {1} \ eta _ {\ nu \ lambda} F ^ {\ mu \ nu} = \ bar \ eta _ {\ nu \ lambda} \ bar F ^ {\ mu \ nu} $$ Kontraherende med den omvendte $ \ eta ^ {\ lambda \ sigma} $ af $ \ eta _ {\ nu \ lambda } $ giver endelig $$ F ^ {\ mu \ sigma} = – \ bar F ^ {\ mu \ sigma} $$ som $$ \ bar \ eta _ {\ nu \ lambda} \ eta ^ {\ lambda \ sigma} = – \ delta_ \ nu ^ {\ sigma} $$ Dette betyder, at tegnene på komponenterne i den elektromagnetiske tensor $ F ^ {\ mu \ nu} $ faktisk afhænger af den metriske konvention. Dette gælder også for $ F _ {\ mu \ nu} $, hvorimod tensoren af blandet rang $ F ^ \ mu {} _ \ nu $ er uafhængig af dette valg (hvilket er bare (1)).
Kommentarer
- Fantastisk! Bare en ting, du brugte $ {u ^ \ lambda = \ bar u ^ \ lambda} $, som er kendt ved definition af 4-positionen, men du brugte også $ {\ dot {u} ^ \ mu = \ dot { \ bar {u}} ^ \ mu} $, (som man angiveligt ikke ' ikke ved på forhånd, at $ {F ^ {\ mu \ sigma} = – \ bar F ^ { \ mu \ sigma}} $) ikke? Så hvordan er dette berettiget? Kan man altid definere kontravariantvektorer til at være de samme uanset den metriske signatur er?
- @PedroFigueroa: samme som hastigheder, accelerationer (såvel som eventuelle højere afledte positioner) er enige – vi ' har at gøre med den samme bane; Jeg ' ll præcisere
Svar
Vi arbejder i enhed med $ c = 1 $. I begge tegnkonventioner for metricen $ \ eta _ {\ mu \ nu} $ definerer vi feltstyrken som
$$ \ tag {1} A ^ {\ mu} ~ = ~ (\ Phi, {\ bf A}). $$
$$ \ tag {2} F _ {\ mu \ nu} ~: = ~ \ delvis _ {\ mu} A _ {\ mu} – \ delvis _ {\ nu} A _ {\ mu} , \ qquad \ mu, \ nu ~ \ i ~ \ {0,1,2,3 \}. $$
$$ \ tag {3} E_i ~: = ~ – \ partial_i \ Phi – \ partial_0 A ^ i, \ qquad i ~ \ in ~ \ {1,2,3 \}. $$
[Relationen (3) kan delvist huskes af det faktum, at man i elektrostatik kræver $ {\ bf E} ~ = ~ – {\ bf \ nabla} \ Phi $. Det viser sig, at resten af ækv. (3) fastgøres derefter ved konsistens.] Tensorer hæves og sænkes med den metriske tensor $ \ eta _ {\ mu \ nu} $.
Det er så ligetil at kontrollere, at dette indebærer, at i signatur
$$ \ tag {4} (+, -, -, -) \ qquad \ text {resp.} \ qquad (-, +, +, +), $$
$ 4 $ -potentialet $ A _ {\ mu} $ med lavere indeks er
$$ \ tag {5 } A _ {\ mu} ~ = ~ (\ Phi, – {\ bf A}) \ qquad \ text {resp.} \ Qquad A _ {\ mu} ~ = ~ (- \ Phi, {\ bf A}), $$
og det elektriske felt $ {\ bf E} $ er
$$ \ tag {6} E_i ~ = ~ F_ {0i} \ qquad \ text {resp. } \ qquad E_i ~ = ~ F_ {i0}. $$
Se også dette relaterede Phys.SE-indlæg.
Skriv et svar