Semnătura metricei și definiția tensorului electromagnetic
On noiembrie 30, 2020 by adminAm citit definiția tensorului câmpului electromagnetic pentru a fi \ begin {ecuație} F ^ {\ mu \ nu} \ equiv \ begin {pmatrix} 0 & E_x & E_y & E_z \\ – E_x & 0 & B_z & -B_y \\ – E_y & -B_z & 0 & B_x \\ – E_z & B_y & -B_x & 0 \ end {pmatrix} \ tag {*} \ end {ecuație} în Introducere în electrodinamică de David Griffiths sau ca $$ F _ {\ mu \ nu} \ equiv \ begin {pmatrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & B_z & -B_y \\ E_y & -B_z & 0 & B_x \\ E_z & B_y & -B_x & 0 \ end {pmatrix} $$ pe Note de curs despre GR de Sean Carroll, despre care știu că sunt consecvente prin $ {F _ {\ mu \ nu} = \ eta _ {\ mu \ alpha} F ^ {\ alpha \ beta} \ eta _ {\ beta \ nu}} $ unde metrica $ \ eta _ {\ rho \ sigma} $ are o semnătură $ (- +++) $.
Cu toate acestea, de pe Wikipedia și alte surse (îmi pare rău că nu-mi amintesc) pe care le folosesc o semnătură $ (+ —) $ și definesc tensorul EM ca fiind negativul lui $ {(*)} $.
Acestea sunt gândurile mele despre asta: Antisimetria $ F ^ {\ mu \ nu} = – F ^ {\ nu \ mu} $ poate arăta că este doar un amestec nefericit de litere index și că pentru ca notarea surselor să fie consecventă, fie primele două, fie Wikipedia ar trebui să schimbe $ \ mu \ nu $ la $ \ nu \ mu $. Dacă nu este cazul, proprietățile par a fi aceleași; la început am crezut că produsul interior va apărea un semn minus al diferenței, dar, desigur, nu s-a întâmplat și, ca și pentru alte entități cu care am lucrat, e. g. viteza 4, deși semnătura metrică se poate schimba, vectorul contravariant este același în ambele cazuri. Cu toate acestea, din nou, am citit tensorul tensiune-energie schimbă semnul în funcție de semnătură.
La fel și semnătura metricei implicată în definiția $ {F ^ {\ mu \ nu}} $ sau orice alt tensor? Dacă da, cum pot să știu ce semnătură este implicată? sau dacă nu, care este problema cu diferența de semn minus din definiții?
Răspuns
Let $$ \ eta _ {\ mu \ nu} = {\ rm diag} (+ 1, -1, -1, -1) \ qquad \ bar \ eta_ { \ mu \ nu} = {\ rm diag} (- 1, + 1, + 1, + 1) $$ cu legile corespunzătoare ale forței Lorentz (în unități în care masa este egală cu încărcarea) $$ \ ddot x ^ \ mu = \ eta_ {\ nu \ lambda} F ^ {\ mu \ nu} \ dot x ^ \ lambda \ qquad \ ddot {\ bar x} ^ \ mu = \ bar \ eta _ {\ nu \ lambda} \ bar F ^ {\ mu \ nu} \ dot {\ bar x} ^ \ lambda $$
Deoarece traiectoriile $ x ^ \ mu, \ bar x ^ \ mu $ ar trebui să fie de acord (la fel și toate derivatele sale) pentru toți condiții inițiale, putem echivala termenii $$ \ tag {1} \ eta _ {\ nu \ lambda} F ^ {\ mu \ nu} = \ bar \ eta _ {\ nu \ lambda} \ bar F ^ {\ mu \ nu} $$ Contractare cu inversa $ \ eta ^ {\ lambda \ sigma} $ din $ \ eta _ {\ nu \ lambda } $ produce în cele din urmă $$ F ^ {\ mu \ sigma} = – \ bar F ^ {\ mu \ sigma} $$ ca $$ \ bar \ eta _ {\ nu \ lambda} \ eta ^ {\ lambda \ sigma} = – \ delta_ \ nu ^ {\ sigma} $$ Aceasta înseamnă că semnele componentelor tensorului electromagnetic $ F ^ {\ mu \ nu} $ depind într-adevăr de convenția metrică. Acest lucru se aplică și pentru $ F _ {\ mu \ nu} $, în timp ce tensorul de rang mixt $ F ^ \ mu {} _ \ nu $ este independent de această alegere (care este doar (1)).
Comentarii
- Super! Doar un lucru, ați folosit $ {u ^ \ lambda = \ bar u ^ \ lambda} $, care este cunoscut prin definiția poziției 4, dar ați folosit și $ {\ dot {u} ^ \ mu = \ dot { \ bar {u}} ^ \ mu} $, (așa cum se presupune că nu ' nu știu în prealabil că $ {F ^ {\ mu \ sigma} = – \ bar F ^ { \ mu \ sigma}} $) nu? Cum se justifică acest lucru? Se poate defini mereu vectorii contravarianți să fie aceiași indiferent de semnătura metrică?
- @PedroFigueroa: la fel ca viteze, accelerații (precum și orice derivate mai mari de poziție) ' avem de-a face cu aceeași traiectorie; ' voi clarifica
Răspuns
Vom lucra în unitate cu $ c = 1 $. În ambele convenții de semnare pentru metrica $ \ eta _ {\ mu \ nu} $ definim intensitatea câmpului ca
$$ \ tag {1} A ^ {\ mu} ~ = ~ (\ Phi, {\ bf A}). $$
$$ \ tag {2} F _ {\ mu \ nu} ~: = ~ \ partial _ {\ mu} A _ {\ mu} – \ partial _ {\ nu} A _ {\ mu} , \ qquad \ mu, \ nu ~ \ in ~ \ {0,1,2,3 \}. $$
$$ \ tag {3} E_i ~: = ~ – \ partial_i \ Phi – \ partial_0 A ^ i, \ qquad i ~ \ in ~ \ {1,2,3 \}. $$
[Relația (3) poate fi amintită parțial de faptul că în electrostatică se cere ca $ {\ bf E} ~ = ~ – {\ bf \ nabla} \ Phi $. Se pare că restul eq. (3) este apoi fixat prin consistență.] Tensorii sunt ridicați și coborâți cu tensorul metric $ \ eta _ {\ mu \ nu} $.
Este apoi simplu să verificați dacă acest lucru implică faptul că în semnătură
$$ \ tag {4} (+, -, -, -) \ qquad \ text {resp.} \ qquad (-, +, +, +), $$
$ 4 $ -potential $ A _ {\ mu} $ cu index mai mic este
$$ \ tag {5 } A _ {\ mu} ~ = ~ (\ Phi, – {\ bf A}) \ qquad \ text {resp.} \ Qquad A _ {\ mu} ~ = ~ (- \ Phi, {\ bf A}), $$
și câmpul electric $ {\ bf E} $ este
$$ \ tag {6} E_i ~ = ~ F_ {0i} \ qquad \ text {resp. } \ qquad E_i ~ = ~ F_ {i0}. $$
Consultați și această postare Phys.SE legată de .
Lasă un răspuns