Mätvärdets signatur och definitionen av den elektromagnetiska tensorn
On november 30, 2020 by adminJag har läst definitionen av det elektromagnetiska fältets tensor som ska \ börja {ekvation} F ^ {\ mu \ nu} \ equiv \ begin {pmatrix} 0 & E_x & E_y & E_z \\ – E_x & 0 & B_z & -B_y \\ – E_y & -B_z & 0 & B_x \\ – E_z & B_y & -B_x & 0 \ end {pmatrix} \ tag {*} \ end {ekvation} i Introduktion till elektrodynamik av David Griffiths, eller som $$ F _ {\ mu \ nu} \ equiv \ begin {pmatrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & B_z & -B_y \\ E_y & -B_z & 0 & B_x \\ E_z & B_y & -B_x & 0 \ end {pmatrix} $$ på Föreläsningsanteckningar om GR av Sean Carroll, vilket jag vet är konsekvent via $ {F _ {\ mu \ nu} = \ eta _ {\ mu \ alpha} F ^ {\ alpha \ beta} \ eta _ {\ beta \ nu}} $ där mätvärdet $ \ eta _ {\ rho \ sigma} $ har en $ (- +++) $ signatur.
Men på Wikipedia och andra källor (tyvärr kan jag inte komma ihåg) använder de en $ (+ —) $ -signatur och de definierar EM-tensorn som negativ av $ {(*)} $.
Det här är mina tankar om det: Antisymmetrin $ F ^ {\ mu \ nu} = – F ^ {\ nu \ mu} $ kan påpeka att det bara är en olycklig blandning av indexbokstäver och att antingen de två första eller Wikipedia bör ändra $ \ mu för att källanotationen ska vara konsekvent. \ nu $ till $ \ nu \ mu $. Om inte fallet verkar egenskaperna vara desamma; först trodde jag att den inre produkten skulle dyka upp ett minus tecken på skillnad, men det hände naturligtvis inte, och när det gäller andra enheter som jag har arbetat med, t.ex. g. 4-hastigheten, även om den metriska signaturen kan förändras, är den kontravariantvektorn densamma i båda fallen. Men återigen har jag läst att spänningsenergitensorn ändrar tecken beroende på signaturen.
Så är signaturen för mätvärdet involverat i definitionen av $ {F ^ {\ mu \ nu}} $ eller vilken som helst tensor? Om så är fallet, hur kan jag veta vilken signatur som är inblandad? eller om inte, vad är det med minusteckenskillnaden på definitionerna? h2>
Låt $$ \ eta _ {\ mu \ nu} = {\ rm diag} (+ 1, -1, -1, -1) \ qquad \ bar \ eta_ { \ mu \ nu} = {\ rm diag} (- 1, + 1, + 1, + 1) $$ med motsvarande Lorentz-kraftlagar (i enheter där massa är lika med laddning) $$ \ ddot x ^ \ mu = \ eta_ {\ nu \ lambda} F ^ {\ mu \ nu} \ dot x ^ \ lambda \ qquad \ ddot {\ bar x} ^ \ mu = \ bar \ eta _ {\ nu \ lambda} \ bar F ^ {\ mu \ nu} \ dot {\ bar x} ^ \ lambda $$
Som banorna $ x ^ \ mu bör \ bar x ^ \ mu $ överensstämma (och så kommer alla dess derivat) för alla initiala villkor kan vi jämföra termerna $$ \ tag {1} \ eta _ {\ nu \ lambda} F ^ {\ mu \ nu} = \ bar \ eta _ {\ nu \ lambda} \ bar F ^ {\ mu \ nu} $$ Kontrakt med det omvända $ \ eta ^ {\ lambda \ sigma} $ av $ \ eta _ {\ nu \ lambda } $ ger slutligen $$ F ^ {\ mu \ sigma} = – \ bar F ^ {\ mu \ sigma} $$ som $$ \ bar \ eta _ {\ nu \ lambda} \ eta ^ {\ lambda \ sigma} = – \ delta_ \ nu ^ {\ sigma} $$ Detta betyder att tecknen på komponenterna i den elektromagnetiska tensorn $ F ^ {\ mu \ nu} $ verkligen beror på den metriska konventionen. Detta gäller också för $ F _ {\ mu \ nu} $, medan tensorn av blandad rangordning $ F ^ \ mu {} _ \ nu $ är oberoende av detta val (vilket är bara (1)).
Kommentarer
- Bra! Bara en sak, du använde $ {u ^ \ lambda = \ bar u ^ \ lambda} $ som är känd enligt definitionen av 4-positionen, men du använde också $ {\ dot {u} ^ \ mu = \ dot { \ bar {u}} ^ \ mu} $, (som man förmodligen inte ' vet inte på förhand att $ {F ^ {\ mu \ sigma} = – \ bar F ^ { \ mu \ sigma}} $) eller hur? Så hur är detta motiverat? Kan man alltid definiera kontravariantvektorer som samma oavsett metrisk signatur?
- @PedroFigueroa: samma som hastigheter, accelerationer (liksom alla högre positionsderivat) håller med om vi ' handlar om samma bana; Jag ' kommer att klargöra
Svar
Vi kommer att arbeta i enhet med $ c = 1 $. I båda teckenkonventionerna för metriska $ \ eta _ {\ mu \ nu} $ definierar vi fältstyrkan som
$$ \ tag {1} A ^ {\ mu} ~ = ~ (\ Phi, {\ bf A}). $$
$$ \ tag {2} F _ {\ mu \ nu} ~: = ~ \ partial _ {\ mu} A _ {\ mu} – \ partial _ {\ nu} A _ {\ mu} , \ qquad \ mu, \ nu ~ \ i ~ \ {0,1,2,3 \}. $$
$$ \ tag {3} E_i ~: = ~ – \ partial_i \ Phi – \ partial_0 A ^ i, \ qquad i ~ \ in ~ \ {1,2,3 \}. $$
[Relationen (3) kan delvis komma ihåg av det faktum att man i elektrostatik kräver att $ {\ bf E} ~ = ~ – {\ bf \ nabla} \ Phi $. Det visar sig att resten av ekv. (3) fixas sedan av konsistens.] Tensorer höjs och sänks med den metriska tensorn $ \ eta _ {\ mu \ nu} $.
Det är då enkelt att kontrollera att detta innebär att i signatur
$$ \ tag {4} (+, -, -, -) \ qquad \ text {resp.} \ qquad (-, +, +, +), $$
$ 4 $ -potentialen $ A _ {\ mu} $ med lägre index är
$$ \ tag {5 } A _ {\ mu} ~ = ~ (\ Phi, – {\ bf A}) \ qquad \ text {resp.} \ Qquad A _ {\ mu} ~ = ~ (- \ Phi, {\ bf A}), $$
och det elektriska fältet $ {\ bf E} $ är
$$ \ tag {6} E_i ~ = ~ F_ {0i} \ qquad \ text {resp. } \ qquad E_i ~ = ~ F_ {i0}. $$
Se även detta relaterade Phys.SE-inlägg.
Lämna ett svar