Metrin allekirjoitus ja sähkömagneettisen tensorin määritelmä
On marraskuu 30, 2020 by adminOlen lukenut sähkömagneettisen kentän tensorin määritelmän olevan \ begin {yhtälö} F ^ {\ mu \ nu} \ equiv \ begin {pmatrix} 0 & E_x & E_y & E_z \\ – E_x & 0 & B_z & -B_y \\ – E_y & -B_z & 0 & B_x \\ – E_z & B_y & -B_x & 0 \ end {pmatrix} \ tag {*} \ end {yhtälö} David Griffithsin julkaisussa Johdatus elektrodynamiikkaan tai nimellä $$ F _ {\ mu \ nu} \ equiv \ begin {pmatrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & B_z & -B_y \\ E_y & -B_z & 0 & B_x \\ E_z & B_y & -B_x & 0 \ end {pmatrix} $$ Sean Carrollin GR-luentotiedotuksessa , jonka tiedän olevan johdonmukainen $ {F _ {\ mu \ nu} = \ eta _ {\ mu \ alpha} F ^ {\ alpha \ beta} \ eta _ {\ beta \ nu}} $ missä metriikka $ \ eta _ {\ rho \ sigma} $ on $ (- +++) $ -allekirjoitus.
Kuitenkin Wikipediassa ja muissa lähteissä (pahoillani, etten voi muistaa) $ (+ —) $ -allekirjoitus ja he määrittelevät EM-tensorin olevan negatiivinen arvosta $ {(*)} $.
Nämä ovat minun ajatukseni siitä: Antisymmetria $ F ^ {\ mu \ nu} = – F ^ {\ nu \ mu} $ voi huomauttaa, että se on vain valitettava sekoitus hakemistokirjaimia ja että lähteiden merkintöjen ollessa yhdenmukaiset, joko kahden ensimmäisen tai Wikipedian tulisi muuttaa $ \ mu \ nu $ – $ \ nu \ mu $. Ellei näin ole, ominaisuudet näyttävät olevan samat; aluksi ajattelin, että sisäinen tuote ponnahtaa esiin miinusmerkin erosta, mutta sitä ei tietenkään tapahtunut, ja mitä tulee muihin entiteetteihin, joiden kanssa olen työskennellyt, esim. g. 4-nopeus, vaikka metrinen allekirjoitus voi muuttua, kiistanalainen vektori on sama kummassakin tapauksessa. Olen kuitenkin lukenut jälleen, että stressienergian tensori muuttaa merkkiä allekirjoituksesta riippuen.
Niin on myös $ {F ^ {\ mu \ nu}} -määrityksen mukana olevan metrisen allekirjoitus. $ tai mikä tahansa tensori? Jos on, niin mistä tiedän, mikä allekirjoitus on kyseessä? tai jos ei, niin mikä on miinusmerkkien ero määritelmissä?
Vastaa
Anna $$ \ eta _ {\ mu \ nu} = {\ rm diag} (+ 1, -1, -1, -1) \ qquad \ bar \ eta_ { \ mu \ nu} = {\ rm diag} (- 1, + 1, + 1, + 1) $$ vastaavilla Lorentzin voimalailla (yksikköinä, joissa massa on yhtä suuri kuin varaus) $$ \ ddot x ^ \ mu = \ eta_ {\ nu \ lambda} F ^ {\ mu \ nu} \ dot x ^ \ lambda \ qquad \ ddot {\ bar x} ^ \ mu = \ bar \ eta _ {\ nu \ lambda} \ bar F ^ {\ mu \ nu} \ piste {\ bar x} ^ \ lambda $$
Koska polut $ x ^ \ mu, \ bar x ^ \ mu $ tulisi sopia (ja niin kaikki sen johdannaisetkin) kaikille Alkuehdoissa voimme yhtälöidä termit $$ \ tag {1} \ eta _ {\ nu \ lambda} F ^ {\ mu \ nu} = \ bar \ eta _ {\ nu \ lambda} \ bar F ^ {\ mu \ nu} $$ Sopimus käänteisen $ \ eta ^ {\ lambda \ sigma} $ kanssa $ \ eta _ {\ nu \ lambda } $ vihdoin tuottaa $$ F ^ {\ mu \ sigma} = – \ bar F ^ {\ mu \ sigma} $$ muodossa $$ \ bar \ eta _ {\ nu \ lambda} \ eta ^ {\ lambda \ sigma} = – \ delta_ \ nu ^ {\ sigma} $$ Tämä tarkoittaa, että sähkömagneettisen tensorin $ F ^ {\ mu \ nu} $ komponenttien merkit ovat todellakin riippuvaisia metrisestä sopimuksesta. Tämä koskee myös $ F _ {\ mu \ nu} $, kun taas sekalaisen $ F ^ \ mu {} _ \ nu $ -tensori on riippumaton tästä valinnasta (mikä on vain (1)).
Kommentit
- Hienoa! Vain yksi asia: käytit $ {u ^ \ lambda = \ bar u ^ \ lambda} $, joka tunnetaan 4-aseman määritelmän perusteella, mutta käytit myös $ {\ dot {u} ^ \ mu = \ dot { \ bar {u}} ^ \ mu} $, (kuten oletettavasti ei tiedetä ' ei tiedä etukäteen, että $ {F ^ {\ mu \ sigma} = – \ bar F ^ { \ mu \ sigma}} $) eikö? Joten miten tämä on perusteltua? Voiko aina määritellä sopivat vektorit olla samat riippumatta metrisestä allekirjoituksesta?
- @PedroFigueroa: sama kuin nopeudet, kiihdytykset (samoin kuin mahdolliset korkeammat sijaintijohdannaiset) sopivat ' käsittelemme samaa lentorataa; I ' Ll selventää
Vastaa
Työskentelemme yksikkö, jossa $ c = 1 $. Molemmissa metriikan $ \ eta _ {\ mu \ nu} $ merkintäkäytännöissä kentän voimakkuus määritetään seuraavasti:
$$ \ tag {1} A ^ {\ mu} ~ = ~ (\ Phi, {\ bf A}). $$
$$ \ tag {2} F _ {\ mu \ nu} ~: = ~ \ osittainen _ {\ mu} A _ {\ mu} – \ osittainen _ {\ nu} A _ {\ mu} , \ qquad \ mu, \ nu ~ \ sisään ~ \ {0,1,2,3 \}. $$
$$ \ tag {3} E_i ~: = ~ – \ osal_i \ Phi – \ osaa_0 A ^ i, \ qquad i ~ \ sisään ~ \ {1,2,3 \}. $$
[Suhde (3) voidaan osittain muistaa sillä, että sähköstaattisuudessa vaaditaan, että $ {\ bf E} ~ = ~ – {\ bf \ nabla} \ Phi $. On käynyt ilmi, että loput ekv. (3) kiinnitetään sitten johdonmukaisuudella.] Tensorit nostetaan ja lasketaan metrisellä tensorilla $ \ eta _ {\ mu \ nu} $.
Sen jälkeen on suoraviivaista tarkistaa, että tämä merkitsee allekirjoituksessa
$$ \ tag {4} (+, -, -, -) \ qquad \ text {resp.} \ qquad (-, +, +, +), $$
$ 4 $ -potentiaalinen $ A _ {\ mu} $ pienemmällä indeksillä on
$$ \ tag {5 } A _ {\ mu} ~ = ~ (\ Phi, – {\ bf A}) \ qquad \ text {resp.} \ Qquad A _ {\ mu} ~ = ~ (- \ Phi, {\ bf A}), $$
ja sähkökenttä $ {\ bf E} $ on
$$ \ tag {6} E_i ~ = ~ F_ {0i} \ qquad \ text {resp. } \ qquad E_i ~ = ~ F_ {i0}. $$
Katso myös tämä liittyvä Phys.SE-viesti.
Vastaa