De handtekening van de metriek en de definitie van de elektromagnetische tensor
Geplaatst op november 30, 2020 door adminIk heb de definitie van de elektromagnetische veldtensor gelezen die \ begin {equation} F ^ {\ mu \ nu} \ equiv \ begin {pmatrix} 0 & E_x & E_y & E_z \\ – E_x & 0 & B_z & -B_y \\ – E_y & -B_z & 0 & B_x \\ – E_z & B_y & -B_x & 0 \ end {pmatrix} \ tag {*} \ end {equation} in Introduction to Electrodynamics door David Griffiths, of als $$ F _ {\ mu \ nu} \ equiv \ begin {pmatrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & B_z & -B_y \\ E_y & -B_z & 0 & B_x \\ E_z & B_y & -B_x & 0 \ end {pmatrix} $$ on the Lecture Notes on GR door Sean Carroll, waarvan ik weet dat ze consistent zijn via $ {F _ {\ mu \ nu} = \ eta _ {\ mu \ alpha} F ^ {\ alpha \ beta} \ eta _ {\ beta \ nu}} $ waar de statistiek $ \ eta _ {\ rho \ sigma} $ heeft een $ (- +++) $ handtekening.
op Wikipedia en andere bronnen (sorry, ik kan het me niet herinneren) die ze gebruiken een $ (+ —) $ handtekening en ze definiëren de EM-tensor als het negatief van $ {(*)} $.
Dit zijn mijn gedachten erover: De antisymmetrie $ F ^ {\ mu \ nu} = – F ^ {\ nu \ mu} $ kan erop wijzen dat het gewoon een ongelukkige mix van indexletters is en dat om de bronnotatie consistent te laten zijn, ofwel de eerste twee ofwel Wikipedia $ \ mu zou moeten veranderen \ nu $ naar $ \ nu \ mu $. Zo niet, dan lijken de eigenschappen hetzelfde te zijn; in eerste instantie dacht ik dat het inproduct een minteken van verschil zou laten zien, maar het gebeurde natuurlijk niet, en wat betreft andere entiteiten waarmee ik heb gewerkt, b.v. g. de 4-snelheid, hoewel de metrische handtekening kan veranderen, is de contravariante vector in beide gevallen hetzelfde. Maar nogmaals, ik heb gelezen dat de spanning-energie-tensor van teken verandert afhankelijk van de handtekening.
Dat geldt ook voor de handtekening van de metriek die betrokken is bij de definitie van $ {F ^ {\ mu \ nu}} $ of welke tensor dan ook? Zo ja, hoe kan ik dan weten om welke handtekening het gaat? of zo niet, wat is er aan de hand met het verschil in minteken op de definities?
Antwoord
Laat $$ \ eta _ {\ mu \ nu} = {\ rm diag} (+ 1, -1, -1, -1) \ qquad \ bar \ eta_ { \ mu \ nu} = {\ rm diag} (- 1, + 1, + 1, + 1) $$ met overeenkomstige Lorentzkrachtwetten (in eenheden waarbij massa gelijk is aan lading) $$ \ ddot x ^ \ mu = \ eta_ {\ nu \ lambda} F ^ {\ mu \ nu} \ punt x ^ \ lambda \ qquad \ ddot {\ bar x} ^ \ mu = \ bar \ eta _ {\ nu \ lambda} \ bar F ^ {\ mu \ nu} \ punt {\ bar x} ^ \ lambda $$
Aangezien de trajecten $ x ^ \ mu, \ bar x ^ \ mu $ overeen moeten komen (en dat geldt ook voor al zijn afgeleiden) voor alle beginvoorwaarden, kunnen we de termen $$ \ tag {1} \ eta _ {\ nu \ lambda} F ^ {\ mu \ nu} = \ bar \ eta _ {\ nu \ lambda} \ bar F ^ {\ mu \ gelijkstellen nu} $$ Contracteren met de inverse $ \ eta ^ {\ lambda \ sigma} $ van $ \ eta _ {\ nu \ lambda } $ levert uiteindelijk $$ F ^ {\ mu \ sigma} = – \ bar F ^ {\ mu \ sigma} $$ op als $$ \ bar \ eta _ {\ nu \ lambda} \ eta ^ {\ lambda \ sigma} = – \ delta_ \ nu ^ {\ sigma} $$ Dit betekent dat de tekens van de componenten van de elektromagnetische tensor $ F ^ {\ mu \ nu} $ inderdaad afhangen van de metrische conventie. Dit geldt ook voor $ F _ {\ mu \ nu} $, terwijl de tensor van gemengde rang $ F ^ \ mu {} _ \ nu $ onafhankelijk is van deze keuze (die slechts (1) is).
Reacties
- Geweldig! Slechts één ding, je hebt $ {u ^ \ lambda = \ bar u ^ \ lambda} $ gebruikt die bekend is door de definitie van de 4-positie, maar je hebt ook $ {\ punt {u} ^ \ mu = \ punt {gebruikt \ bar {u}} ^ \ mu} $, (zoals men zogenaamd niet ' weet vooraf dat $ {F ^ {\ mu \ sigma} = – \ bar F ^ { \ mu \ sigma}} $) toch? Dus hoe wordt dit gerechtvaardigd? Kan men contravariante vectoren altijd definiëren om hetzelfde te zijn, ongeacht de metrische handtekening?
- @PedroFigueroa: hetzelfde als snelheden, versnellingen (evenals eventuele hogere afgeleiden van positie) zijn het erover eens – we ' hebben te maken met hetzelfde traject; Ik ' zal verduidelijken
Antwoord
We zullen werken in eenheid met $ c = 1 $. In beide tekenconventies voor de metriek $ \ eta _ {\ mu \ nu} $ definiëren we de veldsterkte als
$$ \ tag {1} A ^ {\ mu} ~ = ~ (\ Phi, {\ bf A}). $$
$$ \ tag {2} F _ {\ mu \ nu} ~: = ~ \ partieel _ {\ mu} A _ {\ mu} – \ partieel _ {\ nu} A _ {\ mu} , \ qquad \ mu, \ nu ~ \ in ~ \ {0,1,2,3 \}. $$
$$ \ tag {3} E_i ~: = ~ – \ partiële_i \ Phi – \ partiële_0 A ^ i, \ qquad i ~ \ in ~ \ {1,2,3 \}. $$
[De relatie (3) kan gedeeltelijk worden herinnerd door het feit dat men in de elektrostatica eist dat $ {\ bf E} ~ = ~ – {\ bf \ nabla} \ Phi $. Het blijkt dat de rest van eq. (3) wordt vervolgens gefixeerd door consistentie.] Tensoren worden verhoogd en verlaagd met de metrische tensor $ \ eta _ {\ mu \ nu} $.
Het is dan eenvoudig om te controleren of dit impliceert dat in ondertekening
$$ \ tag {4} (+, -, -, -) \ qquad \ text {resp.} \ qquad (-, +, +, +), $$
de $ 4 $ -potentiële $ A _ {\ mu} $ met lagere index is
$$ \ tag {5 } A _ {\ mu} ~ = ~ (\ Phi, – {\ bf A}) \ qquad \ text {resp.} \ Qquad A _ {\ mu} ~ = ~ (- \ Phi, {\ bf A}), $$
en het elektrische veld $ {\ bf E} $ is
$$ \ tag {6} E_i ~ = ~ F_ {0i} \ qquad \ text {resp. } \ qquad E_i ~ = ~ F_ {i0}. $$
Zie ook dit gerelateerde Phys.SE-bericht.
Geef een reactie