Konjugaattimuuttujien alkuperä fyysisissä teorioissa
On helmikuu 16, 2021 by adminMiksi konjugaattimuuttujat tulevat pareittain? Esimerkiksi klassisessa mekaniikassa meillä on yleiset sijainnin ja impulssin koordinaatit, ja on Jacobin toimintakulmakoordinaatit. Lisäksi termodynamiikan perusyhtälöissä kaikki merkitykselliset suuruudet esiintyvät pareittain, eli tilavuus ja paine, entropia ja Lämpötila, hiukkasten lukumäärä ja kemiallinen potentiaali. Varmasti voidaan esittää mittasuhteet siitä, miksi haluamme nämä parit (jotta ne antavat energiayksiköitä jne.), mutta etsin käsitteellistä argumenttia miksi muuttujia konjugoidaan tule pareittain.
Pahoittelen, jos tämä kysymys on huonosti esitetty.
Kommentit
- Ehkä liittyvät kysymykseesi Onsagerin vastavuoroiset suhteet yleistettyjen vuon ja voimien välillä, jotka voidaan tosiasiallisesti johtaa ensimmäisistä periaatteista.
- Liittyvät: physics.stackexchange.com/q/18280/2451
Vastaa
Tämä voi olla paras vastaus ed. tarkastelemalla entisiä esimerkkejäsi (sijainti ja liikemäärä) ja jälkimmäisiä esimerkkejäsi (tilavuus ja paine jne.) erikseen. Katso tämä kysymys , miksi tarkastelen näitä erikseen.
Ensimmäisen esimerkkisarjan (esimerkit Hamiltonin mekaniikasta) juuret ovat Pontryagin-kaksinaisuudet . Todiste tästä käsitteestä on vähän yksityiskohtainen, mutta se lähinnä yrittää löytää olosuhteet, joissa $ \ mathcal {F} (\ mathcal {F} (f)) $ vastaa jossakin mielessä $ f $. Kuten tapahtuu, tämä pätee kaikkiin kompakteihin abelilaisiin ryhmiin. Ja myös, kuten tapahtuu, asema on Pontryagin-kaksoisnopeus ja päinvastoin.
Toinen joukko esimerkkejä (termodynamiikasta) syntyy, kun tarkastelemme tasapainojakaumia termodynamiikassa. Siinä tapauksessa ei ole mitään ”erikoista” muuttujina, jotka tulevat pareittain. Harkitse esimerkiksi kanonisen kokonaisuuden sisäistä energiayhtälöä, joka yhdistää sen entropiaan (S), tilavuuteen (V), lämpötilaan (T) ja paineeseen (p):
$$ \ mathrm {d } U = T \, \ mathrm {d} Sp \, \ mathrm {d} V $$ Voit nähdä, että lämpötila ja paine ovat vain yhtälön entropian ja tilavuuden muutosten ”suhteellisuusvakioita”. Miksi lämpötilan muutos muuttuu entropiassa (lämmönsiirto), se johtuu termodynamiikan toisesta laista, joka pyrkii lisäämään järjestelmän ja kylvyn entropiaa. Kun järjestelmä ajetaan hieman pois tasapainosta, esimerkiksi lisäämällä kylvyn T $ dollaria hyvin pienellä määrällä, jonkin verran entropiaa vaihdetaan ja järjestelmä tasapainottuu uudelleen.
On olemassa erilainen lämpötilan ja lämmön välinen suhde, esimerkiksi, sijainti / liikemäärä. Vaikka yleistetty liikemäärä ja sijainti on kytketty vastavuoroisilla differentiaaliyhtälöillä, sama ei päde lämpötilaan ja lämpöön.
Vastaa