物理理論における共役変数の起源

これがベストアンサーかもしれません前者の例（位置と運動量）と後者の例（体積と圧力など）を別々に検討することによって編集されます。これらを個別に検討する理由については、この質問を参照してください。

最初の例のセット（ハミルトニアン力学からのもの）は、ポントリャーギンの双対性。この概念の証明は少し詳細ですが、本質的には、$ \ mathcal {F}（\ mathcal {F}（f））$がある意味で$ f $と同等である条件を見つけようとすることになります。たまたま、これはすべてのコンパクトアーベル群に当てはまります。また、偶然にも、位置はポントリャーギン双対の運動量であり、その逆も同様です。

熱力学の平衡分布を見ると、（熱力学からの）2番目の例が現れます。その場合、これらの変数がペアになることについて「特別な」ことは何もありません。たとえば、正準集団の内部エネルギー方程式を考えてみましょう。これをエントロピー（S）、体積（V）、温度（T）、および圧力（p）に関連付けます。

$$ \ mathrm {d } U = T \、\ mathrm {d} Sp \、\ mathrm {d} V $$この式では、温度と圧力がエントロピーと体積の変化の「比例定数」にすぎないことがわかります。温度の変化がエントロピーの変化（熱伝達）を促進する理由については、システムとバスのエントロピーを増加させようとする熱力学の第二法則によるものです。システムが平衡状態からわずかに離れる方向に駆動されると、たとえば、バスの$ T $が非常に少量増加すると、ある程度のエントロピーが交換され、システムは再び平衡化します。

別の種類があります。温度と熱、例えば、位置/運動量の間の関係の。一般化された運動量と位置は逆微分方程式によって関連付けられますが、温度と熱については同じではありません。