Monimutkaiset impedanssit
On helmikuu 16, 2021 by adminMitä tarkoittaa monimutkainen impedanssi?
Esimerkiksi kondensaattorin impedanssi (Laplace-toimialueella) ?) antaa 1 / sC (uskon), joka vastaa \ $ \ dfrac {1} {j \ cdot 2 \ pi \ cdot f \ cdot C} \ $, jossa transientit jätetään huomiotta. Mitä impedanssi on kuvitteellinen?
Olen tällä hetkellä yliopistossa toisena sähkötekniikkana, joten jos mahdollista, arvostan matemaattisesti pätevää ja perusteellista vastausta, jos se on ei liikaa vaivaa, oppimateriaalin viitteellä (verkko- ja paperiresurssit) ihanteellinen.
Kiitos etukäteen.
Kommentit
- Aren ’ t opiskeletko juuri tätä kursseillasi? Sinulla on varmasti jo yksi tai kaksi oppikirjaa, joka käsittelee tätä yksityiskohtaisesti. Tämä on hyvin laaja aihe, joka on vaikea vastata ilman tarkempaa kysymystä.
- Lisälähde
- Oppikirjoissani minulla näyttää olevan tämä tunnetaan jo aiemmilta kursseilta (ja emme ’ t opettaneet tätä). Tämän lisäksi luennoitsijat sekoittivat järjestyksensä, joten ’ luultavasti opetetaan sitä myöhemmin, mutta ei ennen kuin tarvitsemme sitä.
- Näyttää siltä että cousesi jätti monet aiheet koskematta, ja se ’ on erittäin hankalaa insinöörikurssille …
Vastaa
TL; DR Impedanssin kuvitteellinen osa kertoo sinulle reaktiivisen impedanssin komponentti; tämä on vastuussa (muun muassa) virran ja jännitteen ja piirin käyttämän loistehon välisestä vaihe-erosta.
Perusperiaate on, että mitä tahansa jaksollista signaalia voidaan käsitellä (joskus) äärettömät siniaallot, joita kutsutaan harmonisiksi, tasavälein taajuuksilla. Kukin niistä voidaan käsitellä erikseen, omana signaalina.
Näissä signaaleissa käytetään seuraavaa esitystä: $$ v (t) = V_ {0} \ cos (2 \ pi ft + \ phi) = \ Re \ {V_ {0} e ^ {j 2 \ pi ft + \ phi} \} $$
Ja voit nähdä, että olemme jo siirtyneet monimutkaisten verkkotunnuksiin numerot, koska voit käyttää monimutkaista eksponenttia pyörimisen esittämiseen.
Joten impedanssi voi olla aktiivinen (vastus) tai reaktiivinen (reaktanssi); kun taas ensimmäinen määritelmän mukaan ei vaikuta signaalien vaiheeseen (\ $ \ phi \ $), niin reaktanssi vaikuttaa, joten kompleksilukujen avulla on mahdollista arvioida reaktion aiheuttama vaiheen vaihtelu.
Joten saat: $$ V = I \ cdot Z = I \ cdot | Z | \ cdot e ^ {j \ theta} $$
jossa | Z | on impedanssin suuruus , antaa: $$ | Z | = \ sqrt {R ^ 2 + X ^ 2} $$
ja theta on impedanssin aiheuttama vaihe, ja sen antaa: $$ \ theta = \ arctan \ left (\ frac {X} {R} \ right) $$
Kun sitä käytetään edelliseen toimintoon, siitä tulee seuraava: $$ v (t) = \ Re \ {I_ {0} | Z | e ^ {j 2 \ pi ft + \ phi + \ theta} \} = I_ {0} | Z | \ cos (2 \ pi ft + \ phi + \ theta) $$
Tarkastellaan ihanteellista kondensaattoria: sen impedanssi on \ $ \ frac {1} {j \ omega C} = – \ frac {j} {\ omega C} \ $, joka on kuvitteellinen ja negatiivinen; jos laita se trigonometriseen kehään, saat vaiheen -90 °, mikä tarkoittaa, että puhtaasti kapasitiivisella kuormalla jännite on 90 ° nykyisen takana.
Joten w hy?
Sanotaan, että haluat laskea yhteen kaksi impedanssia, 100 ohmia ja 50 + i50 ohmia (tai ilman kompleksilukuja \ $ 70,7 \ kulma 45 ^ \ circ \ $). Sitten kompleksiluvuilla summaat todellisen ja kuvitteellisen osan ja saat 150 + i50 Ohmia.
Ilman kompleksilukuja asia on varsin monimutkainen, koska voit joko käyttää kosiniuksia ja sinisiä (mutta se ” sama kuin silloin käyttää kompleksilukuja) tai joutua suuruusluokkien ja vaiheiden sekaan. Se on sinun tehtäväsi :).
Teoria
Joitakin muita käsitteitä yrittäessäsi puuttua kysymykset:
- Signaalien yliaaltojen esitys käsitellään yleensä Fourier-sarjan hajotuksella:
$$ v (t) = \ summa _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} c_ {n} e ^ {jnt}, \ text {missä} c_ {n} = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} v (t) e ^ {- jnt} \, dt $$
- Monimutkainen eksponentti liittyy kosiniin myös Eulerin kaava :
$$ cos (x) = \ frac {e ^ {ix} + e ^ {-ix}} {2} $$
Kommentit
- Paljon kiitoksia vastauksestasi. V (t) -yhtälön osalta vain selventää, tarkoitatko v (t) = v0 cos (2pi f0 t + phi) + v1 cos (2pi f1 t + phi) + … + vn cos (2pi fn t + phi) (koska signaali voidaan esittää mahdollisesti äärettömänä numerona eri taajuuksien sinusoidit)? Johdoitko sitten R (V0 exp (j2pift + phi)) -termin cos (x) = 0,5 exp (ix) + 0,5 exp (-ix) -arvosta? Jos näin on, minne 0,5 exp (-2pift …) -aika menee?Ohm ’ -lauseesi yhtälössä oletettavasti V (t) arvioi todellisen lausekkeen, mutta exp (j omega) ei ’ t, joten miten tämä toimii? Kiitos vielä kerran.
- MMH monia kysymyksiä :). Ensimmäisestä, ei tarkalleen: tarkista Fourier-sarjan esitys, mutta teoriassa myös muut hajotukset ovat mahdollisia; eksponentiaalisesta, kyllä, se ’ s Euleron vastaavuus. Sama pätee viimeiseen kysymykseen: monimutkainen eksponentti antaa kierron, mutta sitten se ’ otti vain todellisen osan.
- Vau, että ’ sa nopea vastaus! Miksi vain todellinen osa otetaan? Se ei vaikuta matemaattisesti pätevältä ’. Kiitos vielä kerran.
- Puuttuuko tästä ’? ” Aexp (i omega) … ymmärretään lyhenteenä, joka koodaa taustalla olevan sinimuotoisuuden amplitudin ja vaiheen. ” osoitteesta fi.wikipedia.org/wiki/Phasor#Definition . Onko ajatus, että kompleksiluvun esitys on lyhyt kulman (vaiheen) ja suuruuden esittämiseen?
- @JonaGik kyllä, se ’ on kätevä esitys sinimuotoisista signaaleista, kuten myös wiki-sivu sanoo. Sanon, että jokainen matemaattinen esine on lyhenne, joka edustaa tai ratkaisee jotakin todellista ongelmaa …
Vastaa
Olen varma, että tämä ei vastaa täysin kysymykseesi, itse asiassa toivon, että se täydentää jo annettuja vastauksia, jotka näyttävät laiminlyötävän: kompleksilukujen käsite (joka, kuten jo mainittiin, on vain hieno nimi matemaattisen ”määrän” tyyppi, jos haluat).
Ensimmäinen pääkysymys, johon meidän pitäisi vastata, on miksi kompleksiluvut. Ja tähän kysymykseen vastaamiseksi meidän on ymmärrettävä eri numerosarjojen tarve luonnollisista todellisiin lukuihin asti.
Varhaisista ajoista lähtien luonnolliset luvut antoivat ihmisille mahdollisuuden laskea, esim. Omenat ja appelsiinit markkinoilla. Sitten lisättiin kokonaisluvut käsittelemään ”velassa” -käsitettä negatiivisten numeroiden avulla (tämä oli vaikea käsitys tuolloin). Nyt asiat muuttuvat mielenkiintoisemmiksi rationaalilukujen ja tarpeen kanssa edustaa ”määriä” murto-osilla. Mielenkiintoinen tämä luku on se, että tarvitsemme kaksi kokonaislukua, eikä vain yhtä (kuten luonnollisten ja kokonaislukujen kohdalla), esimerkiksi 3/8. Tämä tapa ilmaista ”määrät” on erittäin hyödyllinen, esimerkiksi kuvaamaan 8 viipaleiden piirakasta jäljelle jääneiden viipaleiden (3) määrää, kun 5 oli jo syöty 🙂 (et voinut tehdä tätä kokonaisluvulla!).
Hypätään nyt irrationaaliset ja reaaliluvut ja siirrytään kompleksilukuihin. Elektroniikkainsinöörit kohtasivat haasteen kuvata ja käyttää erityyppistä ”määrää”, sinimuotoista jännitettä (ja virtaa) lineaarisessa piirissä (ts. Vastuksista, kondensaattoreista ja induktoreista). Arvaa mitä, he havaitsivat, että kompleksiluvut olivat ratkaisu.
Insinöörit tiesivät, että sinimuotoja edustivat 3 komponenttia, toisin sanoen A (amplitudi), \ $ \ omega \ $ (kulmataajuus) ja vaihe (\ $ \ phi \ $): $$ y (t) = A \ cdot sin (\ omega t + \ phi) $$
He ymmärsivät myös, että lineaarisessa piirissä kulmataajuus (\ $ \ omega \ $) ei muutu solmusta toiseen, ts. riippumatta siitä, mistä piirin kohdasta koet, näet vain eroja amplitudissa ja vaiheessa, ei taajuudessa. Sitten he päättelivät, että sinimuotoisen jännitteen (tai virran) mielenkiintoinen (vaihteleva) osa oli sen amplitudi ja vaihe. Joten aivan kuten teemme rationaalilukujen kanssa, tarvitsemme kahta numeroa edustamaan vaihtelevaa sinimuotoista jännitettä lineaarisessa piirisolmussa, tässä tapauksessa (A, phi). Itse asiassa he tajusivat, että monimutkaisten lukujen algebra, toisin sanoen tapa, jolla käytät ja yhdistät nämä numerot toisiinsa, sopii kuin hansikas tapaan, jolla sinimuotoja käytetään lineaarisilla piireillä.
Joten kun sanot, että kondensaattorin impedanssi on \ $ \ frac {1} {j \ omega C} \ $ eli (A = 1 / C, phi = -90º) edellä mainitussa merkinnässä, sanot itse asiassa, että jännite viivästyy 90º nykyisen vaiheen osalta. Ja unohda se ”transsendenttinen” nimikkeistö kuvitteellisesta ja monimutkaisesta … itse asiassa puhumme ”määristä”, joissa on kaksi ortogonaalista komponenttia (ts. ”Jotka eivät sekoittu riippumatta siitä, kuinka kovasti ravistat niitä cocktailkupissa) ”), aivan kuten vektorit, jotka edustavat ilmiöiden kahta erilaista fyysistä puolta.
PÄIVITÄ
On myös joitain muistiinpanoja, joita suosittelen lukemaan Michael D. Alderin ”Johdatus monimutkaiseen analyysiin insinööreille”. Tämä on erittäin ystävällinen lähestymistapa aiheeseen. Erityisesti suosittelen ensimmäistä lukua .
vastaus
Kompleksilukujen käyttö on matemaattinen tapa esittää sekä vaihe- että vaihekomponentteja – virta suhteessa jännite. Kuvitteellinen impedanssi ei tarkoita sitä, että impedanssia ei ole, se tarkoittaa, että virta ja jännite ovat poissa vaiheen keskenään. Vastaavasti todellinen impedanssi ei tarkoita todellista jokapäiväisessä mielessä, vain sitä, että virta on jännitteen kanssa samassa vaiheessa.
Kommentit
- Ymmärrän mietin näitä ideoita käsitteellisesti, kuinka monimutkainen impedenssi todella toimii – mikä on matemaattinen syy sen monimutkaisuuteen ja miten se johdetaan?
- @JonaGik mistä vastaukseni puuttui? Luulin sen vastaavan tämä matemaattinen syy …
- Onko tämä oikein? Onko ajatus siitä, että kompleksiluvun esitys on lyhyt kulman (vaiheen) ja suuruuden esittämiseen? Joten kun tulkitsemme monimutkaisen impedenssin, pidämme sitä yksinkertaisesti edustamaan vaiheviivettä ja suuruutta?
Vastaa
-
Kuvaukset alle SEEK demythologise mitä tarkoitetaan ”monimutkaisilla” määrillä RCL-kontekstissa. ”Kuvitteellisten” komponenttien käsitteet ovat hyödyllinen metafora, joka pyrkii sokaisemaan ihmisiä yksinkertaiseen taustalla olevaan reaaliin . Alla oleva teksti puhuu RC-termeillä, eikä se koske LC: n salaisuuksia, jotka eivät todellisuudessa ole enää salaperäisiä.
-
Olisi enemmän hyötyä siitä, että tekisit kaikkesi käsittelemällä suurimman osan itse esiin tuoduista kohdista joko oppikirjan tai Internet-hakukoneen avulla ennen kuin etsit selityksiä muilta, SINEN tämä kysymys on niin hyvin olennainen reaktiivisilla komponenteilla varustettujen vaihtovirtapiirien perusteiden kannalta. Vaikeiden kysymysten käsitteleminen asettaa etusijan sille, miten käsittelet vastaavia asioita koko koulutuksesi ajan, ja Internetissä on todennäköisesti miljoonia sivuja, jotka käsittelevät tätä aihetta (Gargoyle sanoo ~ = 11 miljoonaa, mutta kuka voi kertoa?). Pyydetty yksityiskohtaisuus ja perusteellisuus on epärealistista tällaiselta sivustolta, kun otetaan huomioon valtavan suuri määrä yksityiskohtia ”siellä”. (Ellei sivuston omistajat yritä kopioida Wikipedian osajoukkoa).
NIIN – Oliko, että auttaessasi sinua pääsemään perusasioiden ympärille on hyvä idea, jotta voit noutaa sen ja juosta sen kanssa sieltä. Joten …
Jos kytket tuloliittimen sarjavastukseen kondensaattoriin ja toinen kondensaattori on ”maadoitettu”, saat sarjan RC-piirin:
Vin – vastus – kondensaattori – maadoitettu.
Jos syötät nyt porrasjännitteen tuloon, kondensaattorin virta sovitetaan vastaamaan, mutta kondensaattori alkaa latautua tällä jännitteellä tuottamaan virtaa vastukseen. Jännitteen nousu on eksponentiaalinen, koska kondensaattoriin virtaava virta on varattu Icharge = V / R = (Vin-Vcap) / Rseries: llä. ts. kun Vcap nousee potentiaalin vastuksen yli, putoaa ja virta vähenee. Teoriassa Vcapin saavuttaminen Viniin vie äärettömän ajan, mutta käytännössä se on enemmän tai vähemmän ”siellä noin kolmessa aikavakiossa, missä
t = RC = aika, jonka Iin putoaa 1 / e: een sen alkuarvo. Mitä ja miksi 1 / e-termistä tiedät tai teet viitteiden lukemisen jälkeen.
NYT, jos käytämme neliöaaltosignaalia, kondensaattori lataa kuten yllä, kun tulo on positiivinen ja purkautuu vastaavalla eksponentiaalisella tavalla, kun tulo on maadoitettu tai negatiivinen. Vaikka kondensaattorin virta seuraa Vin: tä ja on suurin, kun Vin siirtyy korkeaan / matalaan tai matalaan korkeaan, kondensaattorin jännite jää yllä kuvatuista syistä tulojännite. Kun vakaa tila on saavutettu, jos piirrät Vcapin ja I cap: n, löydät kaksi aaltomuotoa, jotka ovat siirtyneet jopa lähes 90 asteeseen tai niin vähän kuin melkein asteisiin, kun yksi koko syöttösykli = 360 astetta. on jäljessä sen virrasta, riippuu tulotaajuudesta ja RC ti: stä minä vakiona.
Aloittamattomille tämä saattaa näyttää taikuudelta (tai tiotimoliinin käytöstä *), ja nykyinen aaltomuoto esiintyy jopa 1/4 jaksosta ennen sen jännitettä, MUTTA tämä johtuu vain loogisesta syy tähän, kuten edellä on selitetty, ei välttämättä ole intuitiivisesti ilmeinen tarkastuksen yhteydessä.
Jos aloitat kondensaattoreiden, vastusten ja induktorien kampaamisen eri tavoin, sinun on kyettävä käsittelemään matemaattisesti eri aaltomuotojen suhteellisia vaiheita. [Ensimmäisessä johdannossa saattaa tuntua, että vaiheet on tainnutettu].
Jotkut pätevät keksinnöt tai vilkas katsaus joihinkin noin 10 miljoonaan aiheeseen liittyvästä verkkosivusta osoittaa, että missä on kaksi aaltomuotoa, jotka vaihtelevat vaihekohtaisessa suhteessa toiseen ja jotka perustuvat keskinäiseen eksponentiaaliseen suhteeseen, niin kukin aaltomuoto voidaan esittää muodon [R, Theta] polaarisena esityksenä, joka termisesti voidaan esittää kompleksilukuna jossa on X- ja Y-komponentteja, jotka heijastavat polaarista muotoa.
Polaarinen ”vektori”, joka edustaa jännitteen ja virran suhdetta tietyssä tilanteessa, käyttää pyörivää vektorivarren ”metaforaa”, joka antaa varren pituuden ja vaihekulman suhteessa referenssiin. Tämä ”metafora” voidaan korvata X- ja Y-komponentilla, jossa napamuodon suuruuden antaa R = sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) ja jonka kulma-teetan antaa tan ^ -1 (X / Y ). Tämä näkyy alla olevassa kaavamaisessa muodossa.
VAROITUS – terminologia ei saa hämätä.
Huomaa, että termi ”kompleksiluku” on yksinkertaisesti termi. sqrt (-1): n käyttö on hyödyllinen osa metaforaa, jonka avulla aritmeettinen voi toimia MUTTA todelliset määrät ovat täysin todellisia ja ”tavallisia”. Kun käytetään reaktiivisia elementtejä, kuten induktoreita ja kondensaattoreita, teho ei enää ole pelkästään jännite- ja virtavektorit. ts. V.sinin (fred) x I.sin (Josepine) teho ei (yleensä) = VI. Tämä ei tarkoita mitään erityistä tai maagista, monimutkaista tai kuvitteellista mukana olevista muuttujista – se ” vain, että ne ovat aikamuutoksia ja niiden huippuarvot eivät yleensä osu yhteen.
Lisälukema – erittäin suositeltava:
Monimutkainen impedanssilaskin
- I Asimov.
kommentit
- @Kortuk – Suurin osa yllä mainituista oli kirjoitettu ennen alkuperäistä kirjallinen vastaus, mutta en lähettänyt sitä siinä vaiheessa, mutta se on ehkä lisätty ajoissa, kun se on tarkistettu paremmin. Kuten tiedätte, lisätään tarpeeksi usein suuria eriä materiaalia alkuperäisiin viesteihin. Hänen tapauksessaan porkkana- ja keppi-lähestymistapasi (ilman porkkanaa) oli pikemminkin demotivatiivista, mutta näyttää olevan sääli antaa väärin kohdistettujen motivaatiotyyppien saavuttaa normaalimmat vaikutuksensa. Jotkut reagoivat tarpeeksi hyvin korvan ympärillä oleviin lempeisiin hihansuihin, mutta en useimpiin, olen löytänyt ’. Jotkut täällä ovat eri mieltä :-).
vastaus
Kapasitanssin ja induktanssin ilmaiseminen kuvitteellisina vastuksina on se etu, että sinä osaa käyttää tunnettuja menetelmiä lineaaristen ongelmien ratkaisemiseksi vastuksilla lineaaristen ongelmien ratkaisemiseksi vastuksilla, kondensaattoreilla ja induktoreilla.
Tällaisia lineaarisia ongelmia ja niiden tunnettuja menetelmiä ovat esimerkiksi
- Ongelma: kahden vastuksen vastuksen laskeminen sarjassa
Menetelmä: R = R1 + R2
voidaan käyttää myös vastuksen / kondensaattorin / induktorin impedanssin laskemiseen sarjassa toisen vastuksen / kondensaattorin / induktorin kanssa -
Ongelma: lasketaan kahden vastuksen vastus rinnakkain
Menetelmä: R = R1 * R1 / (R1 + R2)
voidaan käyttää myös vastuksen / kondensaattorin / induktorin impedanssin laskemiseen rinnakkain toisen vastuksen / kondensaattorin / induktorin kanssa -
Ongelma: vastuksia, tasajännitettä ja tasavirtalähteitä sisältävän verkon ratkaiseminen
Menetelmä: samanaikaisen lineaarisia yhtälöitä
voidaan käyttää myös verkon, joka sisältää vastuksia, kondensaattoreita, induktoreita, AC- tai DC-jännitettä sekä AC- tai DC-virtalähteitä, ratkaisemiseen - jne.
Kaikki ne kaavat / menetelmät, jotka toimivat todellisten vastusarvojen kanssa (vain resektorit) ja tasavirtalähteet, toimivat yhtä hyvin monimutkaisten arvojen (vastukset, induktorit, kondensaattorit) ja vaihtovirtalähteiden kanssa.
Vastaa
Vaikka ei ole välttämättä mitään intuitiivista syytä, miksi kompleksilukujen käyttäminen vaihe- ja ulkopuolisten signaalien yhdistelmän edustamiseksi pitäisi olla hyödyllistä, se käy ilmi, että kompleksilukujen aritmeettiset säännöt sopivat erittäin hyvin vastusten, kondensaattoreiden ja induktorien todelliseen käyttäytymiseen ja vuorovaikutukseen.
Kompleksiluku on kahden osan summa: todellinen osa ja ”kuvitteellinen” ”osa, joka voidaan esittää reaaliluvulla kerrottuna luvulla i , joka määritellään olevan neliöjuuri -1. Kompleksiluku voidaan kirjoittaa muodossa A + Bi , jolloin sekä A että B ovat reaalilukuja. Sitten voidaan käyttää polynomiaritmeettisia sääntöjä toimimaan kompleksilukuihin käsittelemällä i muuttujana, mutta voidaan myös korvata i ² -1 (eli esim. Pi × Qi tulo on -P × Q).
Millä tahansa taajuudella voidaan määrittää, kuinka vastusverkko, induktorit ja kondensaattorit toimivat, laskemalla kunkin kohteen tehollinen impedanssi ja käyttämällä sitten Ohmin lakia laskea sarja- ja rinnakkaisyhdistelmien tehollinen vastus sekä niiden läpi kulkevat jännitteet ja virrat.Lisäksi, koska vastukset, kondensaattorit ja induktorit ovat kaikki lineaarisia laitteita, voidaan laskea, miten verkko käyttäytyy, kun taajuuksien yhdistelmiä ruiskutetaan, laskemalla, mitä ne tekevät kullekin tietylle taajuudelle, ja lisäämällä sitten tulokset yhteen. Monimutkainen aritmeikka voi olla erittäin hyödyllinen, kun yritetään analysoida suodattimien kaltaisten asioiden käyttäytymistä, koska sen avulla voidaan laskea suodattimen lähtö tulon funktiona. Syötetään jonkin reaaliluvun tulosignaalia v volttia tietyllä taajuudella f , voidaan laskea jännite tai virta missä tahansa tietyssä solmussa; todellinen osa on vaiheessa injektoidun aaltomuodon kanssa, ja kuvitteellinen osa on 90 astetta vaiheen ulkopuolella. Sen sijaan, että joudutaan käyttämään hienoja differentiaaliyhtälöitä piirin käyttäytymisen ratkaisemiseksi, voidaan suhteellisen yksinkertainen laskutoimitus monimutkaisilla numeroilla.
Vastaa
Kompleksilukuja käytetään sähkötekniikassa määrille, joilla on suuruus ja vaihe. Sähköinen impedanssi on virran ja jännitteen suhde. Vaihtovirroille ja jännitteille virta- ja jänniteaaltomuodot eivät välttämättä ole vaiheessa; impedanssin vaihe kertoo tämän vaihe-eron.
Kommentit
- Miksi äänestys on alhainen?
Vastaa