Impedanțe complexe
On februarie 16, 2021 by adminCe înseamnă să ai o impedanță complexă?
De exemplu, impedanța unui condensator (în domeniul Laplace ?) este dat de 1 / sC (cred) care echivalează cu \ $ \ dfrac {1} {j \ cdot 2 \ pi \ cdot f \ cdot C} \ $ unde tranzitorii sunt neglijați. Ce înseamnă ca impedanța să fie imaginară?
Sunt în prezent la anul 2 de inginerie electrică la Universitate, așa că, dacă este posibil, aș aprecia un răspuns matematic valid și aprofundat dacă este nu prea multe probleme, cu referința materialului de studiu (resurse web și hârtie) ideal.
Vă mulțumim anticipat.
Comentarii
- Nu ‘ studiați exact acest lucru în cursurile dvs.? Sigur aveți deja un manual sau două care să treacă în detaliu. Acesta este un subiect foarte larg, care este dificil pentru a răspunde fără o întrebare mai specifică.
- O resursă suplimentară
- Manualele pe care le presupun că sunt deja cunoscuți din cursurile anterioare (și ‘ nu am predat acest lucru). În plus, lectorii mei și-au schimbat ordinea, așa că noi ‘ Probabil că vom fi învățat mai târziu, dar nu înainte să avem nevoie de el.
- Se pare că susținerea dvs. a lăsat multe subiecte neatinse și ‘ este foarte incomod pentru un curs de inginerie …
Răspuns
TL; DR Partea imaginară a impedanței vă spune reactivul componenta impedanței; aceasta este responsabilă (printre altele) pentru diferența de fază dintre curent și tensiune și puterea reactivă utilizată de circuit.
Principiul de bază este că orice semnal periodic poate fi tratat ca suma (uneori) unde sinusoidale infinite numite armonici, cu frecvențe la fel de distanțate. Fiecare dintre ele poate fi tratat separat, ca un semnal propriu.
Pentru aceste semnale utilizați o reprezentare care este ca: $$ v (t) = V_ {0} \ cos (2 \ pi ft + \ phi) = \ Re \ {V_ {0} e ^ {j 2 \ pi ft + \ phi} \} $$
Și puteți vedea că am sărit deja în domeniul complexului numere, deoarece puteți utiliza o exponențială complexă pentru a reprezenta rotația.
Deci impedanța poate fi activă (rezistență) sau reactivă (reactanță); în timp ce primul, prin definiție, nu afectează faza semnalelor (\ $ \ phi \ $), reactanța are efect, astfel încât utilizarea numerelor complexe este posibilă pentru a evalua variația fazei introduse de reactanță.
Deci obțineți: $$ V = I \ cdot Z = I \ cdot | Z | \ cdot e ^ {j \ theta} $$
unde | Z | este magnitudinea impedanței , dat de: $$ | Z | = \ sqrt {R ^ 2 + X ^ 2} $$
și theta este faza introdusă de impedanță și este dată de: $$ \ theta = \ arctan \ left (\ frac {X} {R} \ right) $$
Când se aplică funcției anterioare, devine: $$ v (t) = \ Re \ {I_ {0} | Z | e ^ {j 2 \ pi ft + \ phi + \ theta} \} = I_ {0} | Z | \ cos (2 \ pi ft + \ phi + \ theta) $$
Să luăm în considerare condensatorul ideal: impedanța lui va fi \ $ \ frac {1} {j \ omega C} = – \ frac {j} {\ omega C} \ $ care este imaginară și negativă; dacă puneți-l în circumferința trigonometrică, obțineți o fază de -90 °, ceea ce înseamnă că, cu o sarcină pur capacitivă, tensiunea va fi cu 90 ° în spatele curentului.
Deci, w hy?
Să spunem că doriți să însumați două impedanțe, 100 Ohm și 50 + i50 Ohm (sau, fără numere complexe, \ $ 70,7 \ angle 45 ^ \ circ \ $). Apoi, cu numere complexe, însumați partea reală și imaginară și obțineți 150 + i50 Ohm.
Fără a folosi numere complexe, lucrul este destul de mai complicat, deoarece puteți folosi fie cosinusuri cât și sinusuri (dar este același lucru cu utilizarea numerelor complexe atunci) sau intră într-o mizerie de magnitudini și faze. „Depinde de tine :).
Teorie
Câteva noțiuni suplimentare, încercând să abordezi întrebări:
- Reprezentarea armonică a semnalelor este de obicei abordată prin descompunerea serie Fourier :
$$ v (t) = \ sum _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} c_ {n} e ^ {jnt}, \ text {unde} c_ {n} = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} v (t) e ^ {- jnt} \, dt $$
- Exponențialul complex este legat de cosinus și de Formula lui Euler :
$$ cos (x) = \ frac {e ^ {ix} + e ^ {-ix}} {2} $$
Comentarii
- Mulțumesc foarte mult pentru răspunsul dvs. În ceea ce privește ecuația v (t), doar pentru a clarifica, vrei sa spui v (t) = v0 cos (2pi f0 t + phi) + v1 cos (2pi f1 t + phi) + … + vn cos (2pi fn t + phi) (deoarece semnalul poate fi reprezentat ca un număr posibil infinit de sinusoide cu frecvențe diferite)? Apoi, obțineți termenul R (V0 exp (j2pift + phi)) din cos (x) = 0,5 exp (ix) + 0,5 exp (-ix)? Dacă acesta este cazul, unde merge termenul 0,5 exp (-2pift …)?De asemenea, în ecuația legii dvs. Ohm ‘, probabil V (t) evaluează o expresie reală, dar exp (j omega) nu ‘ t, deci cum funcționează acest lucru? Vă mulțumim din nou.
- MMH multe întrebări :). Despre prima, nu exact: verificați reprezentarea seriei Fourier, dar în teorie sunt posibile și alte descompuneri; despre exponențial, da, este ‘ echivalența Eulero. Același lucru este valabil și pentru ultima întrebare: exponențialul complex oferă rotația, dar apoi ‘ a luat doar partea reală.
- Wow că ‘ un răspuns rapid! De ce este luată doar partea reală? Aceasta nu pare ‘ valabilă din punct de vedere matematic. Vă mulțumim din nou.
- Asta îmi lipsește ‘? ” Aexp (i omega) … se înțelege ca o notație de scurtătură, care codifică amplitudinea și faza unui sinusoid subiacent. ” din en.wikipedia.org/wiki/Phasor#Definition . Este ideea că reprezentarea numărului complex este o prescurtare pentru reprezentarea unui unghi (fază) și a unei magnitudini?
- @JonaGik da, este ‘ o reprezentare convenabilă a semnalelor sinusoidale, așa cum spune și pagina wiki. Aș spune că fiecare obiect matematic este o prescurtare pentru a reprezenta sau a rezolva o problemă reală …
Răspuns
Sunt sigur că acest lucru nu va răspunde în totalitate la întrebarea dvs., de fapt, sper că acesta va completa răspunsurile deja date care par să neglijeze: conceptul din spatele utilizării numerelor complexe (care, așa cum am spus deja, este doar un nume fantezist pentru un tipul de „cantitate” matematică, dacă doriți).
Prima întrebare principală la care ar trebui să răspundem este de ce numerele complexe. Și pentru a răspunde la această întrebare, trebuie să înțelegem nevoia diferitelor seturi de numere, de la cele naturale până la numerele reale.
Încă din vârstele timpurii, numerele naturale au permis oamenilor să numere, de exemplu, mere și portocale într-o piață. Apoi, numerele întregi au fost introduse pentru a aborda conceptul „datoriei” prin intermediul numerelor negative (acesta a fost un concept greu de înțeles în acel moment). Acum, lucrurile devin mai interesante cu numerele raționale și cu necesitatea de a reprezenta „cantități” cu fracții. Interesantul cu privire la aceste numere este că avem nevoie de două numere întregi și nu numai de unul (ca și în cazul numerelor naturale și întregi), de exemplu 3/8. Acest mod de a reprezenta „cantitățile” este foarte util, de exemplu pentru a descrie numărul de felii (3) rămase într-o plăcintă cu 8 felii, când 5 erau deja consumate 🙂 (nu puteai face asta cu un număr întreg!).
Acum, să saltăm numerele iraționale și reale și să mergem la numerele complexe. Inginerii electronici s-au confruntat cu provocarea de a descrie și opera un alt tip de „cantitate”, tensiunea sinusoidală (și curentul) într-un circuit liniar (adică, realizat din rezistențe, condensatori și inductori). Ghiciți ce, au descoperit că numerele complexe erau soluția.
Inginerii știau că sinusoidele erau reprezentate de 3 componente, adică A (amplitudine), \ $ \ omega \ $ (frecvență unghiulară) și fază (\ $ \ phi \ $): $$ y (t) = A \ cdot sin (\ omega t + \ phi) $$
De asemenea, au realizat că într-un circuit liniar frecvența unghiulară (\ $ \ omega \ $) nu s-ar schimba de la nod la nod, adică, indiferent de punctul din circuit pe care îl testați, veți vedea doar diferențe în ceea ce privește amplitudinea și faza, nu frecvența. Au ajuns apoi la concluzia că partea interesantă (variabilă) a unei tensiuni (sau curente) sinusoidale a fost amplitudinea și faza acesteia. Deci, la fel cum facem cu numerele raționale, avem nevoie de două numere pentru a reprezenta tensiunea sinusoidală variabilă într-un nod de circuit liniar, în acest caz (A, phi). De fapt, și-au dat seama că algebra numerelor complexe, adică modul în care operați și relaționați aceste numere unul cu celălalt, se potrivește ca o mănușă cu modul în care sinusoidele sunt operate prin circuite liniare.
Deci, atunci când spuneți că impedanța unui condensator este \ $ \ frac {1} {j \ omega C} \ $ adică (A = 1 / C, phi = -90º) în notația adoptată mai sus, de fapt spuneți că tensiunea este întârziată cu 90º referitor la faza actuală. Și vă rog, uitați că nomenclatura „transcendentală” despre imaginară și complexă … de fapt vorbim despre „cantități” cu două componente ortogonale (adică „care nu se amestecă oricât de tare le scuturați într-o ceașcă de cocktail) „), la fel ca vectorii, care reprezintă două aspecte fizice diferite ale fenomenelor.
UPDATE
Există, de asemenea, câteva note pe care le recomand să le citesc, „O introducere la analiza complexă pentru ingineri” de Michael D. Alder. Aceasta este o abordare foarte prietenoasă a subiectului. În special, recomand primul capitol .
Răspuns
Utilizarea numerelor complexe este un mod matematic de a reprezenta atât componentele fazate, cât și cele defazate – curentul în raport cu tensiunea. Impedanța imaginară nu înseamnă că impedanța nu există, înseamnă că curentul și tensiunea sunt defazate între ele. În mod similar, o impedanță reală nu înseamnă reală în sensul cotidian, doar că curentul este în fază cu tensiunea.
Comentarii
- Înțeleg aceste idei din punct de vedere conceptual, mă întrebam doar cum funcționează de fapt o impedanță complexă – care este motivul matematic pentru care este complexă și cum se derivă?
- @JonaGik de unde lipsea răspunsul meu? Am crezut că răspunde acest motiv matematic …
- Este corect? Este ideea că reprezentarea numărului complex este prescurtată pentru reprezentarea unui unghi (fază) și a unei magnitudini? Deci, atunci când interpretăm o impedanță complexă, o considerăm să reprezentați pur și simplu întârzierea fazei și magnitudinea?
Răspundeți
-
Descrierile mai jos SEEK pentru a demitologiza ceea ce se înțelege prin cantități „complexe” într-un context RCL. Conceptele de componente „imaginare” sunt o metaforă utilă care tinde să orbească oamenii de reacția simplă de bază lities. Textul de mai jos vorbește în termeni RC și nu atinge misterele LC care, de fapt, nu mai sunt misterioase în realitate.
-
Ar fi de un beneficiu mai mare să faceți tot posibilul pentru a aborda majoritatea punctelor ridicate, utilizând fie o carte de text, fie un motor de căutare pe internet, înainte de a căuta explicații de la alții, deoarece această întrebare este atât de fundamentală pentru elementele de bază ale circuitelor de curent alternativ cu componente reactive. Abordarea întrebărilor dificile creează o prioritate în ceea ce privește modul în care vă veți ocupa de lucruri similare pe tot parcursul educației dvs. Internetul are probabil milioane de pagini care se ocupă de acest subiect (Gargoyle spune ~ = 11 milioane, dar cine poate spune?). Gradul de detaliu și minuțiozitate pe care îl solicitați este nerealist de la un site ca acesta, având în vedere cantitatea cu adevărat mare de detalii „acolo”. (Cu excepția cazului în care proprietarii site-ului încearcă să reproducă un subset de Wikipedia).
Așadar – știu că să te ajute să te duci cu capul în jurul elementelor de bază este o idee bună, astfel încât să îl poți ridica și să alergi cu el de acolo. Deci …
Dacă conectați un terminal de intrare la un rezistor de serie la un condensator și celălalt condensator este „împământat”, veți obține un circuit RC de serie:
Vin – rezistor – condensator – masă.
Dacă acum aplicați o tensiune pas la intrare, curentul condensatorului va trece pentru a se potrivi, dar condensatorul va începe să se încarce folosind această tensiune pentru a produce curent în rezistor. Creșterea tensiunii va fi exponențială, deoarece curentul care curge în condensator va fi asaltat de Icharge = V / R = (Vin-Vcap) / Rseries. adică pe măsură ce Vcap crește, potențialul rezistorului scade și deci curentul scade. În teorie va dura un timp infinit pentru ca Vcap să ajungă la Vin, dar în practică este mai mult sau mai puțin „acolo în aproximativ 3 constante de timp în care
t = RC = timpul necesar pentru ca Iin să scadă la 1 / e valoarea inițială. Ce și de ce din termenul 1 / e știți deja sau veți face după ce citiți referințele.
ACUM, dacă aplicăm un semnal de undă pătrată, condensatorul se va încărca ca mai sus când intrarea este pozitivă și se va descărca într-o manieră exponențială similară atunci când intrarea este împământată sau negativă. În timp ce curentul condensatorului va urma Vin și va fi maxim atunci când Vin trece în sus / în jos sau în jos, tensiunea condensatorului, din motivele descrise mai sus, va rămâne în urmă tensiune de intrare. Odată ce starea de echilibru a fost atinsă, dacă plasați Vcap și I cap, veți găsi două forme de undă compensate cu până la aproape 90 de grade sau la fel de puțin ca aproape grade, unde un ciclu de intrare întreg = 360 de grade. este în urmă cu curentul său depinde de frecvența de intrare și RC ti constanta mea.
Pentru cei neinițiați acest lucru poate arăta ca o magie (sau utilizarea tiotimolinei *), cu o formă de undă curentă care apare până la 1/4 dintr-un ciclu înainte de tensiunea sa, DAR aceasta este doar pentru că motivul pentru aceasta, așa cum s-a explicat mai sus, nu este neapărat intuitiv evident la inspecție.
Dacă începeți să piepteniți condensatori, rezistențe și inductoare în diferite moduri, trebuie să fiți capabili să vă ocupați matematic de fazele relative ale diferitelor forme de undă. [La prima introducere se poate părea că fazorii sunt setați să uimească].
Unele imagini competente sau o privire strălucitoare la unele dintre cele aproximativ 10 milioane de pagini web pe această temă vor indica faptul că au două forme de undă care variază în relație de fază între ele și care se bazează pe o relație exponențială reciprocă, atunci fiecare formă de undă poate fi reprezentată printr-o reprezentare polară a formei [R, Theta] care în termen poate fi reprezentată ca un număr complex care are componente X și Y care reflectă forma polară.
„Vectorul” polar care reprezintă relația de tensiune și curent într-o situație dată folosește o „metaforă” a brațului rotativ care dă lungimea brațului și unghiul de fază față de o referință. Această „metaforă” poate fi înlocuită cu o componentă X și Y în care magnitudinea formei polare este dată de R = sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) și al cărui unghi theta este dat de tan ^ -1 (X / Y ). Acest lucru poate fi văzut în formă schematică mai jos.
AVERTISMENT – nu vă lăsați păcăliți de terminologie.
Rețineți că termenul „număr complex” este pur și simplu jargon. Utilizarea sqrt (-1) este o parte utilă a metaforei care permite aritmeticii să funcționeze DAR cantitățile reale implicate sunt în întregime reale și „obișnuite”. Când se utilizează elemente reactive precum inductoare și condensatoare, puterea nu va mai fi pur și simplu produsul termenilor de mărime din vectorii de tensiune și curent. Adică puterea de la V.sin (fred) x I.sin (Josepine) nu (de obicei) = VI. Acest lucru nu implică nimic special sau magic sau complex sau imaginar despre variabilele implicate – este doar că sunt variante de timp și magnitudinile lor de vârf nu vor coincide de obicei.
Citire suplimentară – foarte recomandat:
Calculator de impedanță complexă
- I Asimov.
Comentarii
- @Kortuk – Marea majoritate a celor de mai sus a fost scrisă anterior inițialei mele răspuns scris, dar nu l-am postat în etapa respectivă, dar este posibil să fi fost adăugat în timp util când a fost mai bine verificat. După cum veți fi conștienți, de multe ori adaug destul de multe tranșe de material la postările inițiale. În cazul său, abordarea morcovului și a bățului (fără morcov) a fost destul de demotivantă, dar pare o rușine să lăsați stilurile motivaționale greșit să-și atingă cele mai normale efecte. Unii răspund suficient de bine la manșetele ușoare din jurul urechii, dar nu pe majoritatea, le-am găsit ‘. Unii aici nu sunt de acord :-).
Răspuns
Exprimarea capacității și a inductanței ca rezistențe imaginare are avantajul că poate folosi metode bine cunoscute de rezolvare a problemelor liniare cu rezistențe pentru a rezolva probleme liniare cu rezistențe, condensatori și inductori.
Astfel de probleme liniare și metodele lor bine cunoscute sunt, de exemplu,
- Problemă: calcularea rezistenței a două rezistențe în serie
Metoda: R = R1 + R2
poate fi, de asemenea, utilizată pentru calcularea impedanței rezistorului / condensatorului / inductorului în serie cu un alt rezistor / condensator / inductor -
Problemă: calcularea rezistenței a două rezistențe în paralel
Metoda: R = R1 * R1 / (R1 + R2)
poate fi de asemenea utilizat pentru calcularea impedanței rezistorului / condensatorului / inductorului în paralel cu un alt rezistor / condensator / inductor -
Problemă: rezolvarea unei rețele care conține rezistențe, tensiune continuă și surse de curent continuu
Metodă: rezolvarea unui sistem simultan de ecuații liniare
pot fi, de asemenea, utilizate pentru rezolvarea unei rețele care conține rezistențe, condensatori, inductori, tensiune alternativă sau continuă și surse de curent alternativ sau continuu - etc.
Toate acele formule / metode care funcționează cu valori de rezistență reale (numai rezistoare) și surse de curent continuu funcționează la fel de bine cu valori complexe (rezistențe, inductori, condensatori) și surse de curent alternativ.
Răspuns
Deși nu este neapărat vreun motiv intuitiv pentru care ar trebui să fie utilă utilizarea numerelor complexe pentru a reprezenta o combinație de semnale în fază și în afara fazei, rezultă că regulile aritmetice pentru numerele complexe se potrivesc foarte bine cu comportamentul real și interacțiunea rezistențelor, condensatoarelor și inductoarelor.
Un număr complex este suma a două părți: partea reală și un „imaginar” „parte, care poate fi reprezentată printr-un număr real înmulțit cu i , care este definit ca fiind rădăcina pătrată a -1. Un număr complex poate fi scris sub forma A + Bi , atât A cât și B fiind numere reale. Se poate folosi regulile aritmeticii polinomiale pentru a acționa asupra numerelor complexe tratând i ca o variabilă, dar se poate înlocui și i ² de -1 (deci, de exemplu, produsul Pi × Qi este -P × Q).
La orice anumită frecvență, se poate determina modul în care se va comporta o rețea de rezistențe, inductoare și condensatori calculând impedanța efectivă a fiecărui element și apoi folosind legea lui Ohm pentru a calcula rezistența efectivă a combinațiilor seriale și paralele, precum și tensiunile și curenții prin ele.Mai mult, deoarece rezistențele, condensatoarele și inductoarele sunt toate dispozitive liniare, se poate calcula modul în care se va comporta rețeaua atunci când se injectează combinații de frecvențe calculând ce vor face cu fiecare frecvență particulară și apoi adăugând rezultatele. Aritmetica complexă poate fi foarte utilă atunci când încercăm să analizăm comportamentul unor lucruri precum filtrele, deoarece permite calcularea ieșirii filtrului în funcție de intrare. Alimentat un semnal de intrare de un număr real v volți la o anumită frecvență f , se poate calcula tensiunea sau curentul la un anumit nod; porțiunea reală va fi în fază cu forma de undă injectată, iar porțiunea imaginară va fi de 90 de grade defazată. În loc să trebuiască să folosiți ecuații diferențiale fanteziste pentru a rezolva comportamentul circuitului, se poate aritmetica relativ de bază cu numere complexe.
Răspuns
Numerele complexe sunt utilizate în ingineria electrică pentru cantități care au o magnitudine și o fază. Impedanța electrică este raportul dintre curent și tensiune. Pentru curenții și tensiunile de curent alternativ, formele de undă de curent și tensiune ar putea să nu fie în fază; faza impedanței vă spune această diferență de fază.
Comentarii
- De ce votul negativ?
Lasă un răspuns